碎维与佛法

　「万象森罗藏芥子，十方法界摄毫端」
　　莫非蛇也能吞象？……
　　摘要
　　「碎维学」（Fractals）是一门研究不规则而复杂的形状或现象，但其图案却一再重复的几何学。碎维图形的主要特色是自我重复性或自我相似性，即无论将图形放大或缩小至何种程度，它仍然会表现出与原来相似之形状。自我重复性或自我相似性是一种较不严格的尺度不变性。佛经里有许多超乎经验法则的名句，例如：「一即一切」、「色即是空，空即是色」、「芥子纳须弥」等，这些词句所要表达的其实就是尺度不变性，换言之，就是碎维。「碎维」与「佛法」看似风马牛不相及，其实两者是相通的。
　　一、前言
　　研读佛经或其它佛教典籍时，常会被那些超越经验法则、不可思议的描述所困惑，例如「色即是空，空即是色」、「芥子纳须弥」、「千百亿化身佛」等。这些词句的一个共同处是将两个极端相反的名词或概念用等号连在一起，或说两者可以互相涵盖或互相转化，以表达一种不落两边、不离两边的中道观念。例如「色」是有的世界，「空」是无的世界，说「色即是空，空即是色」，就等于说「有即是无，无即是有」。「有」和「无」或「色」和「空」从世俗的眼光来看是两个极端，但《心经》却说两者是同一件事。再看「芥子纳须弥」，须弥是个相当大的结构体，可以看成无限大的代名词，与它相对应的芥子则显得非常微小，仅占有有限的空间，《维摩诘所说经》告诉我们以须弥山之高大、宽广，能被纳入微小的芥子中，而无所增减。这等于说一个很大很大，接近无限大的东西能被装入一个有限小的空间中，而不会产生挤压及变形，这个说法当然是超越经验法则的，似乎无法从现象界来了解，但是佛经说「有限」可以包含「无限」。「千百亿化身佛」也一样，千百亿表示一个很大的数，近乎无限量。一尊佛可以化身千百亿，甚至于无量数，意思是说从有限量可以化出无限量来。
　　科学是描述物质世界的学问，它量度所得的量都是有限的，但科学的架构里有许多地方用到无限，例如「微积分」里就有无限的观念。最近有一种贯穿有限与无限的新科学，那就是「碎维」（Fractals）。透过近代科学中碎维学的发展，佛经或佛教典籍中有些难懂的词句可以用近代的观念予以理解，虽然这种理解只是事理上的了解，不是真参实修后的体悟，但它毕竟也有指月的功能。反过来说，借着比对佛法与碎维，我们也可以看出科学中的佛法。因此，佛法与科学应是相通，而不是对立的。
　　二、简介「碎维」
　　首先简介「碎维学」（Fractals）。碎维是研究不规则而复杂的形状或现象，但其图案却一再重复的几何学，它是一种新数学与新物理学。
　　Fractals源自拉丁字Fractals，即「破碎」之意，乃由IBM Watson中心的Mandelbrot于1975年所提出。他在所著的《The Fractals Geometry of Nature》（1982）一书中以碎维的观念描述自然界许多复杂的几何形状，自此碎维的研究与应用被延伸至各种学科。
　　一般都将Fractals翻译成「碎形」，这个翻译并未忠于原文的涵义。「Fractals」是「Fractional dimension」的简称，译成中文应该是「分数维度」，它的意思是「非整数的维度」，碎成非整数的是几何图形的维度，而不是它的形状，故译为「碎维」应比译为「碎形」更为贴切。本文择善固执，因此采用「碎维」的翻译。
　　碎维结构具有一种很重要的特性，那就是无论将其形状放大或缩小至何种程度，它仍然会表现出与原来相似之形状，此即自我重复性或自我相似性（self-similarity）。自我重复性或自我相似性基本上是一种较不严格的尺度不变性（scale invarian-ce,scaling）（图二），乘幂函数（power lawfunction）即具有尺度不变性。碎维结构的另一特性是具有非整数的维度，称为「碎维维度」（fractal dimension）。碎维维度可被用来量度碎维图形的复杂程度或粗糙程度，它和碎维物体的内在构造无关。若以碎维分析人为的几何图形或结构，会得到整数的维度，如直线之维度是l，圆形之维度是2，而球体之维度是3。自然界里的结构或现象却有非整数的碎维维度，如挪威海岸线的碎维维度为1.52，人脑皱折的碎维维度介于2.73至2.79。碎维维度1.52表示该几何结构是介于直线与平面之间的弯曲曲线。碎维维度2.73或2.79表示该结构是介于平面与立体之间的弯曲曲面。碎维维度的数值越大，其弯曲度越大，故碎维维度是量测一个几何结构粗糙程度或复杂程度的指标。
　　图一　尺度不变性的例子（取材自参考数据第三）
　　跳蚤上面有小跳蚤，小跳蚤上面有更小的跳蚤……
　　自然界随处可见碎维结构，例如海岸线的形状、云层与闪电的形状、晶体的成长、蛋白质或聚合物的聚集等。物理学中的相变与临界现象，数学中的混沌吸引者等也都是碎维。生物医学中如气管的分支结构、血管与神经的网络、心脏His-Purkinje传导系统、EKG中QRS的频谱、肺脏中微血管的渗透性、心肌血流之不均匀性、心率的生理性变异、细胞膜离子通道之开关等都已被证实具有碎维现象。
　　除了用不同的尺度去测量物体以得到碎维维度外，我们也可以把过程反过来：从一些简单的规则出发，一再重复同样的步骤（iteration），而得到各种图形。重复同样的步骤是电脑的特长，因此碎维学的进展与电脑的进展有密不可分的关系。这些年来电脑硬件、软件的快速发展使得高速运算成为可能，因而促成碎维学的突飞猛进。
　　三、佛法中的空间碎维
　　㈠佛法中的空间尺度不变性
　　佛法里早就有许多碎维的描述，只是没用「碎维」这个名词罢了。以下就佛经、典故中举出实例来说明之：
　　1《维摩诘所说经》
　　《维摩诘所说经》中的「芥子纳须弥」是流传很广的名句，它所描述的其实是一种尺度不变性，也就是说高广宽大如须弥山者仍可被缩小到能放入芥子的程度，而须弥山的本质仍然不变。《维摩诘所说经》<不思议品>里「芥子纳须弥」的原文是：
　　若菩萨住是解脱者，以须弥之高广纳芥子中，无所增减，
　　须弥山王本相如故，而四天王忉利诸天不觉不知己之所入，
　　唯应度者乃见须弥纳芥子中，是名不可思议解脱法门。
　　又以四大海水入一毛孔，不娆鱼鳖鼋鼍水性之属，
　　而彼大海本性如故，诸龙鬼神阿修罗等，不觉不知己之所入，
　　以此众生亦无所娆。……
　　以须弥山之高广能纳芥子中，而无所增减，须弥山王本相如故；四大海水能入一毛孔，而彼大海本性如故，根据这些描述及碎维的性质，可知须弥山王的本相及大海的本性都具有尺度不变性，具有这种性质的结构就是碎维结构，故须弥山王的本相及大海的本性都是碎维结构。台湾东势明山寺的门柱联：「万象森罗藏芥子，十方法界摄毫端」，也是同样的意思。森罗万象能藏在芥子中，十方法界能含摄在毫毛的末端，这样的性质当然是尺度不变性，因此，森罗万象及十方法界都是碎维结构。
　　2 三祖僧璨的「信心铭」
　　禅宗三祖僧璨的「信心铭」中有许多文句谈到大、小、有、无，例如：
　　宗非促延，一念万年。无在不在，十方目前。
　　极小同大，妄绝境界。极大同小，不见边表。　　有即是无，无即是有。若不如是，必不须守。
　　一即一切，一切即一。但能如是，何虑不毕。　　信心不二，不二信心。言语道断，非去来今。
　　这里面的「十方目前」、「极小同大」、「极大同小」、「有即是无」、「无即是有」、「一即一切」、「一切即一」都明显地表示自性是大小一如、可大可小、非大非小的，这些句子无疑是空间碎维的最佳注解，因此，自性具有空间碎维的性质。另外，「一念万年」是一种时间的碎维，它表示极短时间和极长时间的本质是一样的，因此，自性也具有时间碎维的性质。
　　3《六祖坛经》
　　《六祖坛经》有云:
　　心量广大，遍周法界。用即了了分明，应用便知一切。
　　一切即一，一即一切。去来自由，心体无滞，即是般若。
　　其中「心量广大，遍周法界」有「芥子纳须弥」的意味在，因为人的形体是有限的、渺小的，若心量真是广大，且遍周法界，则广大的心装在有限的躯体中岂非「芥子纳须弥」?另外，「一切即一，一即一切」无非是尺度不变性，已如前述。
　　《六祖坛经》又云：「一切般若智，皆从自性而生，不从外入，莫错用意，名为真性自用。」「我所说法，不离自性。离体说法，名为相说。自性常迷，须知一切万法，皆从自性起用，是真戒定慧法。」自性可生万法及一切般若智，其意义和「千百亿化身佛」类似，也和「一切即一，一即一切」相似，都有尺度不变性的含意，故知《六祖坛经》的这几句都隐含碎维。
　　4 永嘉玄觉禅师「证道歌」
　　永嘉玄觉禅师人称之为「一宿觉」，他有证道歌盛传于世。此处节录一段与本文有关的歌词：
　　一性圆通一切性，一法遍含一切法。
　　一月普现一切水，一切水月一切摄。
　　诸佛法身入我性，我性同共如来合。
　　一地具足一切地，非色非心非行业。
　　弹指圆成八万门，刹那灭却三祇劫。　　
　　一切数句非数句，与吾灵觉何交涉。
　　「证道歌」歌词的文字简洁优美，浅显易懂。第一行的「一性圆通一切性，一法遍含一切法。」及第五行的「一地具足一切地」指出我们圆融无碍的自性具有前述「一即一切」的本质。「一月普现一切水，一切水月一切摄。」及「诸佛法身入我性，我性同共如来合。」则有「万象森罗藏芥子，十方法界摄毫端」的意味在。因此，「证道歌」也指出自性有空间碎维的性质。
　　「证道歌」告诉我们只要圆通了自己的自性，就同时也圆通一切性了；只要修成了一个法，就等于修成所有的法了。这些歌词其实是「一即一切」的延伸，因此它们都是在讲自性的尺度不变性，所以如果可以替自性安一个名称的话，我们可以说：自性是一种碎维。「证道歌」里的：「弹指圆成八万门，剎那灭却三祇劫。」指的是顿悟，那也是一种时间上的碎维，下面章节将谈到。
　　5 寒山诗
　　寒山子是唐朝一个奇特的诗人，相传是文殊菩萨的化身，他有许多诗流传于世。　　寒山诗为佛偈的延伸，这里节录一首与本文主题有关的诗：
　　五岳俱成粉，须弥一寸山，大海一滴水，吸入在心田；
　　生长菩提子，遍盖天中天，语汝慕道者，慎莫绕十缠。
　　诗句言简意赅，所描述的显然也和「芥子纳须弥」一样，是一种尺度不变性，或者称为「碎维」。寒山子另一首诗中的「一佛一切佛，心是如来地」，也有「一即一切」的意思，值得参考：
　　常闻释迦佛，先受燃灯记，燃灯与释迦，只论前后智；
　　前后体非殊，异中无有异，一佛一切佛，心是如来地。
　　6 布袋和尚偈子
　　布袋和尚相传是弥勒菩萨的化身，他常年背着一个布袋，化缘所得一概往袋子里塞，却不见布袋变大或装不下，相反地，他不断地自布袋中拿出东西，也不见布袋有枯竭的时候。布袋和尚有一诗，借布袋来隐喻佛性：
　　我有一布袋，虚空无罣碍；
　　展开遍十方，入时观自在。
　　他的布袋像虚空一样，无障无碍，展开的时候可以横遍十方，收起来的时候可以观自在。像这样子可大可小，换成近代的科学语言来说，就是尺度不变性，也就是碎维。
　　㈡佛菩萨的化身　　
　　佛菩萨的化身也是空间碎维的一种，为方便叙述，此处另起一节解说之。诸佛菩萨可有千百亿、无量无边的化身，许多碎维图形也有类似的图像（图二），这其实很容易了解，因为依照前面所述，碎维的特性之一是自我重复性或自我相似性，而诸佛菩萨的千百亿化身基本上就是佛身的自我重复性或自我相似性，故佛菩萨的化身也是一种碎维结构。谈到千百亿化身佛的经典或典故有：
　　1《六祖坛经》<忏悔品>
　　《六祖坛经》<忏悔品>有如下的句子：
　　于自色身，归依清净法身佛；
　　于自色身，归依圆满报身佛；
　　于自色身，归依千百亿化身佛。
　　经文中明白指出佛有千百亿个化身。千百亿个化身佛都从一尊佛化出，因此，除了有自我重复性（佛化佛）外，显然也有联贯极大数（千百亿佛）与极小数（一佛）的性质在其中，这种性质是一种尺度不变性，故千百亿化身佛是一种碎维现象。
　　2《华严经》
　　《华严经》经文中有：
　　一一毛孔中刹海，等一切刹极微数，
　　佛悉于中坐道场，菩萨众会共围绕。
　　一一毛孔所有刹，佛悉于中坐道场，
　　安处最胜莲花座，普现神通周法界。
　　一毛端处所有佛，一切刹土极微数，
　　悉于菩萨众会中，皆为宣扬普贤行。
　　如来安坐于一刹，一切刹中无不现，
　　一方无尽菩萨云，普共同来集其所。
　　等一切剎极微数的毛孔中都有佛在其中坐道场，在这些道场中的佛都是化身佛，所以有无量无边的化身佛。「如来安坐于一剎，一切剎中无不现」，此句除了说明一佛可有无量数的化身外，也可说是「一即一切」的另一种涵义。
　　3 布袋和尚偈子
　　相传布袋和尚临终时曾有如下的偈子：
　　弥勒真弥勒，分身千百亿；
　　时时示时人，时人自不识。
　　根据以上的偈诗，人们相信布袋和尚是弥勒菩萨的化身。布袋和尚可以分身千百亿以示时人，这与前述六祖坛经忏悔品里的千百亿化身佛是一样的，因此，千百亿化身佛不只经文中有，民间的传说中也有。布袋和尚的偈诗是千百亿化身佛的又一例证。
　　图二：碎维图形
　　由原始一个图，可化出无量无边形状相似的图形
　　4 顶严
　　密宗的佛像或佛雕常在佛头上再叠上一联串许多尊佛的头，一尊接一尊，称为顶严（图三）。除了密宗外，显宗也常供奉千手千眼观世音菩萨（图四），观世音菩萨的头上通常至少还有一尊阿弥陀佛，这样的结构也称为顶严。不论密宗或显宗，佛头上一尊接一尊的佛头基本上就是一种自我重复性。观世音菩萨的千手千眼也可看成是一种较不严谨的自我重复性。图五是一种Mandelbrot图形，它的形状与顶严有些神似。具有自我重复性的几何结构就是碎维，故顶严也是碎维。
　　图三 密宗护法像（图略）
　　图四 千手千眼观世音菩萨及其顶严　（图略）
　　图五 Ｍandelbrot 图形（图略）
　　四、佛法中的时间碎维
　　㈠佛法中时间的尺度不变性：顿悟与相变
　　冰块化成水，水再化成气，同样是水，然随温度之不同而有不同的外相，这就是相变。相变的描述须用到乘幂函数，其临界指数就是碎维维数，故相变与临界现象是一种碎维。
　　禅宗主张顿悟：「见性一转三千卷，了意一刻百部经」，悟前悟后，仍是同一个人，因悟境之不同而有所不同，好比冰、水与水气，本质虽一样，但随温度之不同而有不同的外相，故顿悟就如同物质世界的相变与临界现象，因此，顿悟很像是物质世界里的相变与临界现象。前已述及物理学中的相变与临界现象是一种碎维，故顿悟也是一种碎维，只是没法子像物理量一样予以量化罢了。佛法方面有许多关于顿悟的记载，此处只略述一二：
　　1《楞严经》
　　《楞严经》里观世音菩萨白佛言那一节中有一段观世音菩萨自述成道的过程：
　　从闻思修，入三摩地。
　　初于闻中，入流亡所。
　　所入既寂，动静二相，了然不生。
　　如是渐增，闻所闻尽，尽闻不住。
　　觉所觉空，空觉极圆。
　　空所空灭，生灭既灭，寂灭现前。
　　忽然超越，世出世间，十方圆明，获二殊胜。
　　一者上合十方诸佛，本妙觉心，与佛如来，同一慈力。
　　二者下合十方一切，六道众生，与诸众生，同一悲仰。
　　观世音菩萨在寂灭现前之后「忽然」超越世出世间，十方圆明，获二殊胜，这是一种顿悟。从这里可知在禅宗讲「渐修顿悟」之前，《楞严经》里就已告诉我们一剎那之间的「悟」是可能的，所以「顿悟」并不是只有禅宗才有。
　　2 达磨《破相论》
　　有学僧问：「如佛所说，我于三大阿僧祇劫，无量勤苦，方成佛道。云何今说，唯只观心，制三毒，即名解脱?」
　　达磨答：「阿僧祇劫者，即三毒心也；胡言阿僧祇，汉言不可数。此三毒心，于中有恒沙恶念，于一一念中，皆为一劫；如是恒沙不可数也，故言三大阿僧祇。真如之性，既被三毒之所覆盖，若不超彼三大恒沙毒恶之心，云何名为解脱?今若能转贪嗔痴等三毒心，为三解脱，是则名为得度三大阿僧祇劫。」
　　「于一一念中，皆为一劫」，每一个念头都是一劫！我们都知道一个念头只能持续一个很短的时间，而一劫却是一个很长的时间单位，达磨所说的「于一一念中，皆为一劫」与三祖僧璨「信心铭」里的「一念万年」或「证道歌」里的「弹指圆成八万门，剎那灭却三祇劫」相同，都是说明时间的尺度不变性，即极短时间与极长时间的本质是一样的。达磨说：「若能转贪嗔痴等三毒心，为三解脱，是则名为得度三大阿僧祇劫。」指的即是顿悟：「证道歌」里的「弹指圆成八万门，剎那灭却三祇劫」也是同漾的事情。
　　3《六祖坛经》<般若品>
　　《六祖坛经》<般若品>有下列词句：
　　善知识！凡夫即佛，烦恼即菩提。
　　前念迷即凡夫，后念悟即佛。
　　前念着境即烦恼，后念离境即菩提。
　　凡夫与佛，或烦恼与菩提间的差异，只是一念之间而已，转得过去或离得了境即是佛、菩提，转不过去或仍著境则仍是凡夫、烦恼。
　　4 虚云老和尚
　　虚云老和尚五十六岁时曾失足落水，被渔民救起后大病一场，在禅堂中昼夜精勤澄清一念。某夜六支香开静时，护七例冲开水，溅予手上，茶杯堕地，一声破碎，顿断疑根，如从梦醒，因述偈曰：
　　杯子扑落地，响声明沥沥；
　　虚空粉碎也，狂心当下息。
　　又偈：
　　烫着手，打碎杯，家破人亡语难闻；
　　春到花香处处秀，山河大地是如来。
　　虚云和尚的这段顿悟过程显示顿悟确是剎那间的事。
　　㈡生死、相变与碎维
　　关于冰与水之相变，寒山子尚有一诗值得一提：
　　欲识生死譬，且将冰水比；水结即成冰，冰消返成水；
　　已死必应生，出生还复死；冰水不相伤，生死还双美。
　　将生生死死看成冰与水之互变，这样看来，众生的生死轮回也与物质的相变类似，也是碎维。
　　五、结语
　　佛法与碎维学有许多相通之处，本文所举诸例可为左证。但是，佛法里的碎维与自然界的碎维也有不同之处，不同处在于：
　　(1)自然界的碎维探讨的对象是物质世界里的现象或结构，是人心以外的东西；而佛法里的碎维探讨的对象是人心里面的世界。
　　⑵自然界的碎维结构可以测量之，得到碎维维数，以量化其复杂或粗糙程度；而人心里面的世界没法子像物理量一样予以量化。是故说佛法里有碎维应取其精神，不应执着于其量度上的性质。
　　用碎维学来左证佛法，用意不在穿凿附会，意图借科学来彰显佛法，这是读本文应有的了解，如此才不至于对佛法产生偏差的观念。事实上，科学有其局限性，比起佛法来，科学的范围实在小得多了，从科学的角度来谈论佛法，对佛法而言应是一种局限，而不是彰显。举例来说，科学讲究实验的再现性，住于相；而佛法注重无住生心，不住于相。然而一旦了解了佛法与科学间的相通性，当更能体会佛法的圆融无碍。
　　参考资料
　　1 Fdedr J.Fractals.New York:Plenum Press,1988
　　2 Peitgen H-O,Saupe D.The Science of Fractal Images.New York:Spring-Verlag,1988.
　　3 Huang K.Statistical Mechanics.New York:John Wiley & Sons,1987．
　　4《维摩诘所说经》
　　5《大佛顶首楞严经》「观世音菩萨白佛言……」
　　6《六祖坛经》
　　7《寒山子研究》陈慧剑著，东大图书公司，1984年。
　　8《虚云和尚年谱》吕学岑编，天华出版公司，1978年。