悖论趣话（二）

构成了直接的矛盾，形成悖论。同样，“伽利略悖论”也是如此。由于正整数与正整数的平方数（前者的部分）之间可以建立一一对立关系：
　　l ，2 ，3 ，4 ，……
　　l ，4 ，9 ，16 ，……
　　因此，整体（自然数集）和部分（平方数集）在数量上是相等的。但由于人们总认为“整体大于部分”，殊不知，这只能适用于有穷量，而不能适用于无穷量，因此造成悖论。显然这也是由于主观认识上的错误造成的。
　　那么，“贝克莱悖论”又是怎么造成的呢？无穷小量在本质上是辩证的，它是零与非零的统一，也就是说它既是零又是非零。所谓“无穷小量是零”是指它的运动变化的终点是零，而所谓“无穷小量是非零”是指它趋向于零。由于数学是以形式逻辑为基础的，它就要遵循不矛盾律，要求对象具有明确性和一义性，也就是说必须明确无穷小量究竟是零还是非零（不能断言既是零又是非零）。而在实际应用中是这样解决的：人们先假设无穷小量不等于零，然后再规定它为零，这种方法实质上是通过把对立环节割裂开进行把握。但对立双方仍然存在于无穷小量本身，当它们被重新联结在一起时，悖论就不可避免地出现了。因此，“无穷小量具有一义性”这种错误的认识是造成“贝克莱悖论”的原因。
　　这种由于主观认识上错误而造成的悖论，其特点就是在它们的构造过程中包含有某个或某些具有直接错误的前提，既如此，悖论就是一种应当避免，而且也能被彻底排除的主观错误。
　　“矛盾即假”，客观世界是不存在矛盾的，矛盾只在人的主观认识中，这是人们的普遍观念，数学和逻辑是严格性和真理性的典范，因此当其中出现悖论时人们自然会想到：一定是我们主观上出什么差错了。找出悖论中错误的前提，并加以改正，悖论就能得以避免。无理数理论的建立使人们否定了“一切事物和现象都可归结为整数或整数之比”的错误信条，“希帕索斯悖论”得以克服；以实数理论为基础的极限理论的产生则否定了“无穷小量要么是零要么是非零”的错误观念，使“贝克莱悖论”不再出现。
　　而罗素悖论却不同，它使用了集合论的最基本概念：集合、属于、元素。根据人们古老的信念，既然出现了悖论，那只能说明集合论的基本前提是错误的。但人们在这些前提中却没有发现以往任何明显不正确之处，这样，在对此悖论的解决中也就出现了种种不同的方法。而且，在解决罗素悖论的种种努力中，人们又进一步暴露出在许多最基本的数学概念上的严重分歧，如到底什么是集合，有没有实无穷等等，这些分歧又增加了人们关于数学不可靠性的感觉，从而也就更增强了“危机”的气氛。一向是平和宁静、人人“安居乐业”的数学王国顿时众心浮动，群情沮丧。正如数学家克莱因所说：“作为逻辑结构的数学已处于一种悲哀的境地……数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时光。”
　　但是在悖论面前，人们对所处的境况是不能长期忍受下去的，因为如希尔伯特所指出的，数学是可靠性和真理性的典范，在这里，如果每个人所学的、教的和应用的那些概念和推理方法导致了不合理的结果，那么数学思考就会失灵，人们又能到哪里去寻找可靠性和真理性呢？因此在惊愕和沮丧之余，数学家们和哲学家们并没有沉沦，而是采取种种措施去排除悖论这个怪物，从而为数学大厦建立更稳固的基础。
　　要解除悖论，就要搞清悖论是如何形成的，以罗素悖论为例，它的构造过程如下：
　　（1）构成集合 S＝｛A｜A不属于A｝，也就是“不以自身为元素的集合的集合”；
　　（2）考虑“S是否属于S”；
　　（3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S，还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。
　　以上述事实进行分析可以看出，这里事实上包含了以下前提：
　　Ⅰ、对任意的A来说，“A不属于 A”总是有意义的命题。
　　Ⅱ、对任何性质来说，如果对所有的对象都有意义，那么总可以构造出相应的集合。例如“红色的”为一性质，所有具有这一性质的对象就构成一个集合。因此，集合就是把我们感兴趣的，想加以研究的对象集中在一起组成的整体。感兴趣可以是任何的东西，树木、房子、数字、猫、狗、猪等等。如果对“高大”感兴趣，就可以把我们班所有高大的同学组成一个集合。想研究“食草性”，就可以把所有食草动物组成一个集合。当然，想研究“不以自身为元素的集合”，也就可以把它也构成一个集合（S）。
　　Ⅲ、对所构造的 S也可考虑“S是否属于 S”的问题。
　　Ⅳ、排中律在集合论总是有效的，即一元素或者属于或者不属于某个集合。
　　Ⅴ、在集合论中不允许任何矛盾出现，即不矛盾律是有效的。
　　因此，从技术上讲，任何方法都是通过否定其中一个或一个以上的前提来排除悖论的。
　　九、大跳蚤与小跳蚤－－类型论
　　小学一年级时用过的语文课本曾令我惊奇不已。课本的封面上有一男一女两个小学生坐在一起看着一本书，而这本书正是我们使用的语文课本，他们看的书上也有两个稍小一点的小学生同样也是在看语文课本。如果画家继续画下去，那就会形成层层的倒退。
　　这样的情形我也在理发店里见过，在顾客的前面有一面大镜子，而后面的墙上也有同样的一面镜子，往任何镜子里看去，人们都会看到无穷的镜子和镜子前的顾客。如果读者感兴趣，不妨也做一个这样的实验：把一根蜡烛放在两面相向的镜子中间，从镜子里你可以看到无穷层次的蜡烛。
　　数学家奥古斯塔斯·德摩根曾改写了乔纳·斯威夫特的一首诗，生动地描绘了这种无穷的倒退：
　　大跳蚤有小跳蚤
　　在它们的背上咬，
　　小跳蚤又有小跳蚤，
　　如此下去
　　没完没了。
　　大跳蚤倒了个儿——变小，
　　上面还有大跳蚤，
　　一个上面有一个，
　　总也找不到
　　谁的辈数老。
　　罗素也曾设想了一个与此相似的类型论来消除悖论。按照罗素的看法，悖论是由于非直谓定义造成的恶性循环引起的。所谓“恶性循环”就是自我指称性或自返性。通俗地讲就是自己说自己。而“非直谓定义”是指这样的定义：它借助于一个整体来定义一个对象，而这个对象又属于这一整体。也就是说，假设我们要给一对象A下定义，这时要借助于B，而B是一类对象的整体，A是B的一部分。例如，在格雷林悖论中曾给“非自状的”下这样的定义：一个形容词，如果它不具有自身所代表的性质就称为“非自状的”。这一定义就是非直谓定义。因为“非自状的”要借助于“不具有自身所代表的性质”来定义，“不具有自身所代表的性质”描述的是这类对象的整体。但是，“非自状的”却恰恰是这一整体中的一员，这样，就造成自己指称自己、自己描述自己的恶性循环。同样，在罗素悖论中，“不以自身为元素的集合的集合”要借助于“不以自身为元素的集合”的全体来定义，但是，这一集合本身也是全体的一分子。又如，所有集合也可以构成一集合（大全集），但此大全集本身也是一个集合，当然又属于“所有集合”，这样就形成“所
　　称自己、自己描述自己的整体称为“不合法的总体”。为了避免“不合法的总体”，罗素提出了“恶性循环原则”，确切点说应该是“避免恶性循环原则”：凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一个分子；或者，反过来说，如果假定某一汇集有一个总体，它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子，那么，这个汇集就没有整体。换句话说，一类对象可以汇集成为一个总体，人们可以利用这总体给某一具体对象下定义，但这一具体的对象不能是这一全体的成员；反之，假如某类对象可以汇集成为一个总体，但其中却发现有这样的对象，它们必须用这一总体来定义，那么，此总体就不成其为真正的总体。有了这一原则，对任何具体的对象下定义时，就不会借助于包含这一对象的总体，从而也就不会造成自己说自己的恶性循环。在此原则的基础上，罗素提出了类型论。
　　这种理论用简单的例子来说并不深奥。例如，“张三是高个子”是个有意义的命题，显然，如果我们用“李四”、“王五”、“赵六”等等来代替命题中的“张三”一词，它仍然具有意义。但是，如果我们用“班级”、“小组”、“人类”等代替“张三”时，这个命题就变得毫无意义了。这是因为，“李四”、“王五”等是与“张三”属于同一级别的具体事物，而“班级”、“小组”等则是由这些具体事物作为元素构成的集合。由此可以看出，在这里，命题的意义取决于对个别事物和个别事物的集合两个层次的区分，这就是类型论的思想。
　　类型论的基本轮廓是这样的：
　　世界是一个无穷等级的体系，在最低级的层次上只有个别事物，在较高一级的层次上只有个别事物的集合，在更高一级的层次上只有个别事物的集合构成的集合。依次类推。总之，同一层次的对象构成一个类型，不同层次的对象构成不同的类型。假设个别事物为最低一级的类型，即类型0，那么，次一级的类型由个别事物的集合构成，即类型1；再次一级的是由个别事物的集合构成，即类型2。依次类推，可以构成无穷的类型层次。类型n＋l的集合只能把类型n的集合作为自己的元素，而不能以类型 n＋ l的集合作为自己的元素，也不能以类型n＋2的集合作为自己的元素等等。因此，不能考虑一个集合是否是自身的元素。用罗素的话说，正如“美德是四边形，或者不是四边形”这句话是没有意义的一样，“一个集合是自己的元素”或者“一个集合不是自己的元素”不是错误的，而是没有意义的，因为它们混淆了类型，是恶性循环的。
　　罗素的类型论就像我们平时看到的套餐盒一样。大餐盒里面套着中餐盒，中餐盒里又套着小餐盒，小餐盒里面还有更小的餐盒，这是层层递进的。不同大小的餐盒属于不同的类型。这里只能由大到小往里套，即只能套比自己小的，任何餐盒都不能自己套自己，更不能套比自己大的。
　　据类型论，“A不属于A”并非有意义的命题，同样，“S〔不以自身为元素（A不属于A）的集合的集合〕是否属于S”的问题也是没有意义的。另外，“A不属于A”既然没有意义，那么，由它也不能构成集合S，也就是说并非任何性质都能决定一个集合，这样就否定了上节所述的罗素悖论中的前三个前提，罗素悖论得以避免。
　　格雷林悖论的构成过程是这样的：
　　（1）把形容词分为两类：一是适用于自身的，称为“自状的”，一类是不适用于自身的，称为“非自状的”。
　　（2）据集合形成规则：任何一性质决定一个集合，“自状的”构成一集合，而“非自状的”同样也能构成集合。
　　（3）问“非自状的”是否属于自身。
　　（4）据排中律，要么属于自身，要么不属于自身，总之都会引起矛盾。
　　而据类型论，“非自状的”是否属于自身的问题是没有意义的，去掉这一环节，悖论也就不能构成。
　　由于“类型的划分”不能消除所有的悖论，罗素又提出“级的划分”，即在每一类型中又划分出不同的级。但后来罗素的学生兰姆塞认为，“级的划分”完全是没有必要的，并认为“恶性循环原则”应该放弃。他指出，非直谓定义方法是应该允许的。
　　实际上，非直谓定义虽然是循环的，但有些循环不是恶性的，而是无害的“良性循环”，正如人的肿瘤有良性肿瘤和恶性肿瘤（癌）一样。例如，一形容词如果它所表示的性质可以适用于自身，那么它就是“自状的”，这一定义就使用了“可以适用于自身的”这种性质的总体，而“自状的”也是其中的一要素，这样，此定义就是非直谓定义，是循环的，但它并没有造成悖论。在生活中，人们经常使用这种方式说话，如“房间里的最高者”、“我们班里年龄最大的人”、“他是班里考得最好的”等。“房间里的最高者”姑且解释（定义）为：“在一个房间里有许多人，这些人形成此房间里所有人的整体，而在这一整体中，张三的个子是最高的，这时，我们称张三为‘房间里的最高者’。”可见，在对“房间里的最高者”的解释中使用了“房间里所有人的整体”，而房间里的最高者也是这个整体的一员，因此，这种解释是循环的。但是显然，没有人认为这样的说话方式有什么问题。
　　另外，这种定义方法也是必不可少的。正如兰姆塞所说，人都是有限的——有限的生命、有限的能力等，我们不可能对无穷多个性质逐个地进行命名，但却可以通过性质的总体来对其中的一些进行描述。也就是说，当我们接触到一些未了解的性质时，没有必要每一个都进行命名，而只是根据过去掌握的知识说明这种性质在性质总体中处于何种地位，与其他性质有何类似或不同之处等。这种描述利用了性质的总体，而这种性质却是整体的一部分，因此是循环的。
　　罗素的另一解除悖论的方案是“加限制”的方法。这一方案罗素并没有采用，而被后来的数学家策梅罗接受。据以前的分析可知，悖论的构成中都包含了这样一前提，即任何一性质都决定一个集合，这是康托尔对集合的直观规定。那么到底什么是集合？集合是什么样的呢？人们是不甚清楚的。康托尔自己说，集合是个“无底的深渊”，而戴德金则说：“集合是一个口袋，里面装的什么可不知道了。”这样就可能出现包含问题的集合，从而带来悖论。罗素和策梅罗都认为，集合论中悖论的出现是由于使用了太大的集合，特别是大全集，即所有集合的集合。因此必须对康托尔的集合论进行限制，特别是抛弃“任何性质都决定一个集合”这一原则，因为从这一原则可立即推出大全集的存在。
　　策梅罗认为，他的目标就是要保留康托尔集合论中一切有价值的部分，也就是说使限制后的集合论仍能起原来的基础作用，即能由此出发而展出全部数学理论。为达此目标，他采取了把原来的直观集合论进行公理化的方法。在这里，集合成了不加定义的原始概念，它的性质由公理加以规定，即由公理直观地显示集合的特征，当然也就表明了什么是集合。例如，其中有这样一条公理：我们可以凭借任何性质由一个已知集合分出一个子集，它是由已知集合中所有那些满足这一性质的元素构成的。比如，我们可以用“在中学读书的”这一性质从已知的“人类”这一集合中分出一子集“在中学读书的人”即“中学生集”。这里也是由一性质决定一集合，但它不是任意的，而必须是由更大的已知集合中分离出，因此，它与康托尔的上述原则是不一样的。根据此公理，“所有集合的集合”、“所有子集的集合”、“所有非自状的形容词的集合”等等这些集合都不会出现。因为没有比它们更大的集合，当然也就不能由已知的集合分出这些集合。这样也就否定了悖论构成的第二个前提：即任何一个性质都决定一个集合。罗素悖论、格雷林悖论、康托尔悖论等都可以得以避免。
　　就已知的集合论悖论来说，其共同的特点就在于对大集合特别是大全集的承认。因此，人们普遍认为，这些悖论已不可能在策梅罗的系统中得到构造。准确点说，是不可能按照原来的方式在此系统中得到构造，因而策梅罗的公理系统为集合论悖论提供了一种可能的解决。而且，就目前的数学实践看，策梅罗的系统已为数学提供了一个合适的基础。所以，在一定的意义上说，策梅罗原来的目标已基本达到。
　　尽管如此，策梅罗的系统并非是十全十美的。例如，虽然此系统避免了原来所发现的悖论，而且迄今尚未遇见悖论，但是，它还不能保证将来不会出现新的悖论。因为它没有证明系统本身的无矛盾性，即本身是否包含矛盾。所以法国著名数学家彭加勒挖苦说：“我们设置栅栏保护羊群以免受到狼的袭击，但是很可能在装栅栏时，就已经有狼被围进栅栏里了。”他说的狼就是悖论，羊群就是集合论，栅栏则是策梅罗的公理集合论系统。
　　十一、未来世界探秘--理发师定理
　　70年代，美国曾拍摄一部轰动一时的惊险科幻故事片《未来世界》。片中描写了机器人的发展情况，到那时，人们制造机器人的技术水平已相当高超。美国某地建立了一个机器人的工厂，工厂中有管理人员、普通的机器操作工人、其他的勤杂人员等等，而整个工厂中只有一名是人。但这些机器人造得和人类一模一样，因此，这个人与机器人在表面上是无法区分开来的，为了揭开机器人工厂神秘的面纱，某大报纸两位记者麦克和杰西娜到工厂进行采访。
　　到工厂后，管理人员（不知是人还是机器人）让他们登记并拍照后就允许他们进行采访。他们参观了整个工厂的生产过程，并观看了他们的业余生活情况。他们看到有的“人”在下象棋，也有的自己在玩扑克，甚至有的让仆人替他煮咖啡。但最令他们惊奇的是，工厂竟模仿他们造了两个与他们完全一样的记者。相遇后，两位机器人记者一心想杀掉他们，并向他们开了火。不得已他们只好一边进行还击，一边向厂外撤退。经过种种努力，他们终于消灭了机器人，逃离了恐怖的机器人工厂。
　　值得一提的是，工厂的机器人还能够在厂里自己进行修理。麦克和杰西娜在一天晚上就曾发现，一个机器人把自己的头拿下来，打开后整理自己的线路，这种机器人是能够自我修理的人。但是，还有些机器人不能修理自身，工厂中就专门开了一个车间修理这种机器人。车间只有一位机器人任修理工，现在就产生了一个困惑人的问题：这个机器人如果出了毛病由谁来修呢？
　　如果他不是自己修，那么，他就属于不给自己修理的机器人，因此，就应送到他的车间，由他自己修；如果他自己修，那么，他就不应该自己修，因为他只给不给自己修理的机器人修理。给自己修，不给自己修；不给自己修，给自己修。机器人也陷入了神秘的怪圈之中。
　　对此怪圈，英国逻辑学家汤姆逊提出著名的“理发师定理”进行解决。这条定理用我们平常的语言表述出来就是这样的：
　　在某一集合中有一些元素自己与自己没有某种关系，而另一元素却与这些元素有此关系，那么，这个元素不存在。
　　乍看起来，这条定理很抽象，难以理解，但仔细分析开来却是非常简单。这条定理说的是那位“理发师”，这里，“某一集合”指的是塞维利亚村所有村民的集合，“某种关系”指的是“给某人刮胡子”的关系，“有些元素自己与自己没有某种关系”是指有的村民自己与自己无刮胡子关系（即自己不给自己刮胡子），而另一元素（理发师）却与这些元素有刮胡子的关系，即这些村民的胡子由这位理发师给刮。那么，结论就是：这样一位塞维利亚村的理发师是不存在的。或者可以这样说，塞维利亚村的这样一位理发师即使有也不存在于形式逻辑所能够解释和接受的范围之内。
　　从以上的定理表述中可以看出，定理的前半部分“在某一集合中有一些元素自己与自己没有某种关系，而另一元素却与这些元素有此关系”，实际上是理发师的规定：“我给且只给塞维利亚村中不给自己刮胡子的人刮胡子。”只在后面加上“这个元素不存在”就变成了定理。
　　这条定理在逻辑中很容易得证。它虽然说的是“理发师”，但它并不仅仅限于此，它指的几乎是所有的集合论中的悖论。
　　那么，如何利用此定理解除上面的机器人修理工的悖论呢？
　　在上面的悖论中，“某一集合”指的是工厂中所有机器人的集合，“某种关系”是指“修理”的关系，在此集合中，“有些元素自己与自己没有某种关系”是指有的机器人自己与自己无修理关系，（即自己不给自己修理），而另一元素（这位机器人修理工）却与这些元素有修理的关系，即这些机器人要由机器人修理工修理。那么，结论是：这样的一个机器人修理工是不存在的。
　　据此定理，其他一些类似的悖论也可排除，并因而把它们变成一条定理。例如，罗素悖论解除后就变成了以下定理：“没有一个集合包含这样一个集合，其元素都是而且仅仅是这个集合中的所有非自己元素的集合”。通俗地说，“不以自身为元素的集合的集合”是不存在的。
　　汤姆逊还用此定理解释了格雷林悖论。就是说：“没有一个形容词的集合能包含这样一个形容词：它能真实地表示这个集合中所有（而且仅仅是）非自状的形容词。
　　这条定理的意思是：“非自状的”这个形容词如果要能够形容所有非自状的形容词（包括它自身）那是不可能的。因为形容它自身时就会出现矛盾，而不形容它自身也会出现矛盾。
　　由此，汤姆逊也对罗素的类型论和塔斯基的语言分层理论进行了评述。罗素的类型论是如何解除此悖论的呢？据类型论，“非自状的”是对所有具体非自状的形容词的概括，因此，它是比这些形容词高一级的类型，但同一级的类型不能表述自身，因而问“非自状的”是否非自状的毫无意义，是类型论不允许的。而据语言分层理论，“非自状的”是用来描述具体的非自状的形容词的，如“无意义的”“英文的”等，因此，它是更高一层的语言，即元语言。要描述“非自状的”本身，又要用再高一层的语言，它用来描述自身是不允许的。这样，概括所有层次的“非自状的”形容词是不存在的。因此，汤姆逊认为，类型论与语言分层的方法与他的方法是殊途同归的。但与其最终承认这样的集合或语词是不存在的，为什么不一开始就直截了当地说它们不存在呢？另外，汤姆逊认为，类型论或语言分层理论都显得有些武断，为什么一定的集合要属于一定的类型呢？为什么语言要属于一定的层次？这都显得有人工雕凿的痕迹，显得不自然，都不如他的直接承认具有说服力。
　　但是，也有人对这条定理提出异议，如麦克伊说，汤姆逊显得更武断，为什么“非自状的”这一形容词不能用于自身？为什么一个集合中就不能有这样的元素呢？汤姆逊说，因为引出了矛盾。但麦克伊却说，这不能算作回答。麦克伊评论道：“这种证明解除了悖论吗？显然没有。它摆脱了理发师……但它不能摆脱罗素悖论或格雷林悖论，因为我们手上仍然有一个矛盾存在：一方面是‘理发师定理’的适当解释，另一方面则显而易见地存在着不包含自身为元素的集合……这一矛盾（不以自身为元素的集合的集合是又不是自身的元素）靠了否认这样的集合的存在而被解除，但一个更深刻的矛盾仍然存在：即否认这个集合的存在和这个集合的显然存在之间的矛盾。汤姆逊的解除方法成为这个更深的矛盾中的一方。”这正如一个孩子拉着妈妈的手说：“妈妈，魔鬼不存在。”妈妈问：“为什么呢？”“因为我害怕。”但魔鬼并不能因为否认它存在而不存在。
　　可以看出，“理发师定理”就是说不但“矛盾即荒谬”，而且“矛盾不存在”，这只不过是形式逻辑“无矛盾思维”影响的结果。它企图说明悖论的局限性，但到最后却证明形式逻辑思维本身是有局限性的。
　　十二、卡里马楚斯的困惑--编目悖论及其解决
　　在古老的亚历山大图书馆里，勤奋的学者卡里马楚斯正在埋头给馆藏图书编目。
　　突然，这位白发苍苍的老先生坐在书堆中呜呜地哭了起来。原来，他遇到一个闻所未闻的难题，这是他学了一辈子的亚里士多德形式逻辑都没法帮助他摆脱的问题。
　　事情是这样的，在编目时，他把所有的目录分成了两大类，其中第一类专门收集“自身列入的目录”。所谓“自身列入的目录”，就是指一本书目中也列入了这本目录自身。比如说，在图书馆有许多数学方面的书，如《算术》、《几何学基础》、《初等代数》、《解析几何》等等，我们可以给它们编目，写成一本《数学书引》，它收入的都是这方面图书的名称。如果翻开这本书目，却发现《数学书目》这本书本身的名称，即如下情形：
　　数学书目：
　　1.算术
　　2.几何学基础
　　3.初等代数
　　4.解析几何
　　5.数学书目
　　那么，这本书就是自身列入的目录。当然，其他还有许多自身列入的目录。
　　第二类目录是“自身不列入的目录”。所谓“自身不列入的目录”，就是一本书目的目录中没有自身的名称。比如说，本图书馆中有一些地理方面的书，如《世界地理》、《中国地理》、《欧洲地理》、《经济地理》等，我们就可以给它们编一本《地理书目》。翻开这本书，你在它所列的书目中并没有发现它自己的名称，即如下的情形：
　　地理书目：
　　1.世界地理
　　2.中国地理
　　3.欧洲地理
　　4.经济地理
　　那么，这本《地理书目》就是自身不列入的目录。所谓自身“列入”或“不列入”，实际上就是列入或不列入自身，也就是一本书目中包含不包含自己的名称。
　　卡里马楚斯编完这两大类目录后，发现“自身列入的目录”有很多，如《数学书目》、《哲学书目》、《逻辑学书目》等等，而“自身不列入的目录”也有不少，如《地理书目》、政治书目》、《军事书目》等。既然如此，又可以各给它们编一个目录，即“自身列入的目录的总目”和“自身不列入的目录的总目”，这样又编成了两本书目。这时，卡里马楚斯发现了问题，那就是《自身不列入的目录的总目》这本书该不该收入《总目》本身呢？而且他发现，这个问题是无法解决的，因为这部《总目》如果不列入《总目》，不但不成其为《总目》，而且这恰恰使它成为“自身不列入的目录”，而这本《总目》是专收“自身不列入的目录”的，因而它必须列入自身；可是，如果它列入自身，那么，它就成为一部“自身列入的目录”，而这本《总目》不收这类的目录，因此，它不能列入自身。亚里士多德的形式逻辑告诉卡里马楚斯，要么列入自身，要么不列入自身，不能既列入又不列入自身。但在这里，列入自身，就必须不列入自身；不列入自身，则又必须列入自身。不论列入自身还是不列入自身都无法跳出自相矛盾的境地。卡里马楚斯就像一只要吃到自己尾巴上绑着的肉却又够不着，而在那里不断旋转的猫一样陷入神秘的怪圈而不能自拔，所以，他坐在那里痛苦得哭了起来。
　　可怜的卡里马楚斯于是终日茶饭不香，郁郁寡欢，因为那怪圈始终萦绕在他的心头。一直到生命的尽头，他也没能解开这个死结，从而带着终生的遗憾离开了尘世。
　　2000多年后的现代，追求完美的欲望促使一些逻辑学家、数学家要重新赶走这个魔鬼。他们为卡里马楚斯想出了各种解决的办法。英国逻辑学家汤姆逊说，我这里有一个“理发师定理”，它已经帮助塞维利亚的理发师摆脱了困境，而卡里马楚斯与那位理发师处于同样的境地。根据理发师定理，这样的一部“自身不列入的目录的总目”是根本不存在的，它只是存在于卡里马楚斯的幻想当中。去掉幻想，站在现实的大地上，他会发现，一切问题突然都消失得无影无踪了。这时，卡里马楚斯的信徒们跳了起来：“简直空谈！你自己解释不了，就说不存在，这能说明什么问题？你并没有证明这样的总目为什么不存在。”
　　大哲学家罗素马上起来安慰这些信徒们：“既然大家不同意‘理发师定理’，我看还是采用我的办法，这个办法也是在解决理发师悖论时提出来的，这就是类型论方法。据类型论，集合都属于不同的类型，如元素的集合、元素的集合的集合等。同一类型的集合不能相互包含，因此，一个集合不能是这个集合本身的元素，即不能包含自身。如果说一集合属于另一集合，那么，前一集合应该比后一集合的类型低。这样，卡里马楚斯先生就不要编这种‘自身列入的目录的总目’，因为它的元素‘自身列入的目录’就是自己属于自己，这是违反类型论的要求的。当然，‘自身不列入的目录的总目’也不会有列入自身的问题，怪圈也就不会出现。”
　　罗素的话音刚落，塔斯基站起来说：“我同意罗素先生的观点。我也提出一个与类型论相似的语言分层理论，据此理论，语言有不同的层次，低层次的称为对象语言，包括对象语言并对其进行讨论的称为元语言。同一层次的语言是不能相互讨论的，这样，‘自身列入的目录’是不允许的，当然，‘自身列入的目录的总目”也就不能存在。同样，‘自身不列入的目录的总目’也不会有属于不属于自身的问题，悖论当然能避免。”
　　“嗯！有一定的道理，”卡里马楚斯的信徒们说，“不过，你们的理论却都有些武断。根据亚里士多德大师的形式逻辑，目录总可以分为两类：自身列入和自身不列入。要么自身列入，要么自身不列入，不能既是自身列入又是自身不列入。从客观上讲，自身列入的目录是存在的，而你们却严加禁止。退一步讲，据你们的理论，任何目录不能列入自身，那么，据排中律，则有任何目录都是自身不列入的，而给这类目录编一个总目没有任何理由进行反对，它作为一部目录当然也要归入两类中的一类。你们既然禁止自身列入这种情况存在，那么，它只能属于自身不列入这一类。‘自身不列入的目录的总目’属于‘自身不列入的目录的总目’，那不又成了自身列入了？矛盾！”
　　看来，现代的逻辑学家们并没有使卡里马楚斯摆脱困境，清除矛盾。这时，辩证法的大师们出来替他们解围了。
　　“矛盾，是的，矛盾！你不会清除矛盾，因为矛盾无处不在，无时不有，矛盾才是真理！‘自身列入的目录的总目’本身就是一个矛盾的统一体，它把所有‘自身不列入的目录”列入了，即‘列入’了‘不列入自身者’，因此，它应该既列入自身又不列入自身。”
　　“蠢话，胡言！这简直是对亚里士多德先哲的亵渎！”卡里马楚斯的信徒们嚷嚷着，他们真不愿大换一下脑筋。
　　“且慢，听完我们的解释后，你们也许会有所启示的。我们先看看中国的悖论专家杨熙龄先生提出的两种方法。他的第一种方法称为‘列入不列入法’。按照这种方法，卡里马楚斯在给所有自身不列入的目录编成总目之后，在这本总目的最后一页的末尾加上这样一条：‘本总目未列入本总目’。此总目就通过不列入的方式把自己列入了。”
　　“这叫什么解决方法？”卡里马楚斯的信徒们还是不满。“这简直就是在说此地无银三百两。如果说它自身列入，它又明明说未列入；而如果说它未自身列入，但它又通过这种特殊的，即说自身未列入的方式列入了，亦即把自己的‘未列入’列入了。这何曾是解决悖论？这不过是戴上面罩的悖论而已。另外，就算你解决了自身列入不列入的问题，编成了一本总目，那么，这本总目你放在哪个书架上？是放在自身不列入的目录这个书架上，还是放在自身列入的目录这个书架上？还有，一本书的目录列入总目就应该是把它的书名列入。说‘本总目未列入本总目’，这叫什么列入法？”
　　“哪个书架上都不能放，放哪个书架上都会形成矛盾。那我们就在图书馆中设另一个，即中间的书架，就把这本总目放在上面。当然，这违背亚里士多德形式逻辑基本规律的要求，这需要你们和图书馆人员改变思维方式。还有，总目有它的特殊性，它也只能有它不同于一般的特殊列入法。”
　　“这种方法我们也无法接受。你们还有什么高招？”
　　“杨熙龄先生还有第二种方法，即‘不列入列入法’。这种方法最简单，就是总目干脆不列入自身。”
　　“既然不列入自身，那不正好是本总目要收的吗？这就应该列入自身啊！缺了这一种，本总目还叫总目吗？”
　　“这问题不难回答。根据这种方法，总目的名称就在它的封面上，其他目录由总目内部收，而这本特殊的总目只能由它的封面来收了。它的内部没有列入自身，而封面却列入了自身，这就叫‘不列入的列入’。如果你们要问为什么要列在封面上，那我们也只能说，这本特殊的总目也只能采取特殊的列入法。”
　　“你们这种方法不过是把矛盾的双方分解，使原来‘列入’的意义改变，现在的‘列入’与原来意义的‘不列入’就不再具有矛盾关系，这样，在形式逻辑的范围内就能说得通了。既然是以损失原来意义的‘列入’为代价，这种解决看来也不能说是完美的。”说完，卡里马楚斯的信徒们都闷闷不乐地离去了。
　　十三、镇长分身术--区别与规定法
　　荷兰又称“尼德兰”，是西欧著名的小国。“尼德兰”（Nederland）就是“低洼之国”的意思。荷兰全境均为低地，三分之一的土地海拔不到1米，四分之一的土地低于海面，靠堤坝及风车排水防止水淹。境内河流密布，沟壑交错。特殊的地理条件使得荷兰在很久以前就出现了许多小市镇，人口多少不等。每个市镇均有镇长加以统治，没有任何人担任两个或两个以上市镇的镇长，也没有任何市镇由两个或两个以上的人担任镇长。这些镇长中，有的居住在自己任职的市镇中，称为“居民镇长”；而有的镇长则到另外的市镇中去居住，我们称之为“非居民镇长”。有一年，荷兰颁布一项法令，为这些非居民镇长开辟了一块土地，令他们居住在那里。
　　随着经济的发展，新的市镇不断出现，而非居民镇长的数量也随之不断增加，非居民镇长居住的地区也越来越繁华，越来越扩大，为此，须建立一个新的市镇。当然，这个市镇也要设立一镇长。但选出镇长后，人们却发现一个很难解决的问题：此镇长住不住在这个镇呢？
　　如果此镇长住在这个镇，那么，他就是居民镇长，但只有非居民镇长才能住在这里，所以，此镇长不能住在这个镇；如果此镇长不住在这个镇，那么，他就是非居民镇长，而非居民镇长只能住在这里，所以，此镇长必须住在这个镇。不住在这里，那么，只能住在这里，而住在这里，就必须不住在这里，此镇长也陷入怪圈。
　　在汤姆逊先生看来，这问题非常容易解决。根据他的“理发师定理”，有“荷兰所有的镇长”这样一个集合，在此集合中又有一个子集合，这个集合由所有不在担任职务的镇上居住的镇长（非居民镇长）组成，那么，不存在另外的这样一个人，他是荷兰某个镇的镇长，而且他在非居民镇长们的镇上居住。这句话听起来很复杂，用通俗的语言来讲，它的意思是说，非居民镇长们居住的镇上是无法选出一个镇长的，也就是说，这样的镇长是不存在了。既然如此，我们也不用煞费苦心帮助这位镇长摆脱困境了。
　　但是，对自己回答不了的问题就说它不存在，这并不能使人信服。况且，汤姆逊也没有能证明这样的一位镇长为什么不存在。实际上，人们完全可以给这个镇选一个或任命一个镇长。
　　在类型论中，此问题也很容易解决。在罗素看来，集合有不同的类型，如个体的集合、个体的集合的集合等。人们可以在高一级的类型中谈论低一级的类型，但不能在低一级的类型中谈论高一级的类型，也不能在同级类型中相互谈论。所有非居民镇长组成一个集合，即前面所述的新的市镇，而此市镇的镇长则属于高一级的类型，说他是否属于此集合，即是否居住于这个市镇则是无意义的。但是，不让人谈论这个问题并不是说它就消失了。从客观上来说，新市镇的镇长总是存在是否在此居住的问题。
　　按照策梅罗的集合论，此怪圈更算不上什么问题，因为在他那里，集合不是任意形成的，而必须由大的集合分出，也就是说必须是某一大集合的子集合。这样，也不会有某范围内最大的集合，如所有居民镇长的集合，所有非居民镇长的集合等是不允许的。这样，所有非居民镇长组成的市镇也就不存在了。因而，选出镇长后可居住在别的地方而不造成悖论。
　　下面，我们再看另外一种办法。
　　首先，我们分析一下“非居民镇长组成的市镇的镇长”这个概念。如果人们能够选出来这么一位总镇长，那么，他同时也是一位普通的非居民镇长，正如一个班的班长同时也是一个普通的学生一样。因此，这位镇长本身具有二重性。我们可以假定，这位总镇长不住在本镇，而作为一个普通的非居民镇长也不住在本镇，这样就有如下的情形：
　　1.总镇长作为总镇长不住在本镇；
　　2.总镇长作为普通的镇长也不住在本镇。
　　据2，作为普通的镇长不住在本镇，那么，他是非居民镇长，而非居民镇长必须住在本镇，但据1，总镇长不住在本镇，因此，可以得出，这位只是作为普通的镇长居住在本镇，而不是作为总镇长居住在本镇。由于这种方法是通过区别同一个体的二重性并把二者加以不同的规定来解决悖论的，所以称为“区别与规定法”。
　　我们也可以用此方法来分析编目悖论。《自身不列入的目录的总目》本身是一部总目，但同时它又是一部普通的自身不列入的目录，因此，《总目》本身就具有二重性。我们可以假定，这部《总目》不列入自身，当然，作为普通的目录的总目也不列入自身。这样就有如下的情形：
　　1.《总目》作为总目不列入自身；
　　2.《总目》作为普通目录也不列入自身。
　　据2，作为普通目录的《总目》既然不列入自身，它就是一部“自身不列入的目录”，因此，必须列入《总目》，但据1，《总目》作为总目并不列入自身。所以，《总目》只是作为一般的目录列入作为总目的《总目》。
　　这时，会有人诘问说，这种把一个整体分成两部分的做法只是头脑中的幻想，你只不过是把一种幻想列入另一种幻想罢了。我们也只能说，二重性之所以成为二重性，就是因为二者是事物本身所具有不可分离的部分，当然不能在实际中把二者分开，分开后也就不成其为二重性了。
　　这样的解释不很清楚，我们再举一通俗的例子。
　　某日课后班长把同学们留下，说：“学校发下来一些表格让大家填一下。如果有同学不愿填，可由班长我代劳，当然，如果愿意填，就不用我费神了。”有些同学很踊跃，领来表格认真地填写起来，但也有几个同学因有急事，自己不愿意填，就请班长代他们填写。别的同学都填完后，突然，有一学生问：“班长，你自己的谁填呢？”
　　“当然我自己填。”班长脱口而出。
　　“这样不行，”那同学说，“你刚才不是说，自己愿意填的你不帮他填吗？”
　　“那我就不用填了。”班长又改口。
　　“这更行不通，因为你还说，不愿填的你都帮助填。”那同学还是不让。这下可把班长难住了。
　　但是，如果学了这种区别与规定法，此问题就难不倒他了，他完全可以自己填上而又不用修改诺言。如果那同学提出疑问，他可以这样回答：“作为学生的我不愿意自己填，我是作为班长替作为学生的我填写的。”
　　通过区别和规定，我们也可以使那位塞维利亚的理发师摆脱困境。
　　这位理发师身上也有二重性：他是一个理发师，同时也是塞维利亚村的村民。既然如此，他就可以坦然在店里给自己刮胡子，而不用修改自己的店规。
　　这时，来了位村民看到他正在自己刮胡子，就责问道：“老兄，你那白纸黑字不是写得清楚？你的店规不是明明规定，你给且只给不给自己刮胡子的人刮胡子吗？你既然自己刮了，你就不能给你刮。”而理发师可以反唇相讥道：“是的，我的店规是说得很明白，但我并没有违反店规。作为村民的我一直没有给自己刮胡子，我现在只是作为理发师在给作为村民的我刮胡子。”或者也可以这样回答：“今天小店歇业，作为理发师的我休假，我现在以村民的身份作为村民的自己刮胡子。”
　　看来，他总是有道理的。那么，为什么以前他却陷入困境而不能自拔呢？原来，以前人们一方面把他身上的二重性分开；他是个理发师，同时也是村民；但另一方面，在他刮胡子时又不允许他把“到底谁在刮胡子分开”。只要他一刮胡子，就仿佛是村民自己在刮胡子，而理发师也在替这个村民刮，两个身份的他同时在刮，这样就违反了店规，造成团团转而无法摆脱的局面。
　　这正如一个中国民间故事所说明的。
　　某地有一女孩子非常聪明，什么问题也难不倒她，人称“伶伶”。这事不知怎么传到县官那里，他决定亲自去难为一下伶伶。
　　有一天早晨，他骑马来到怜伶的庄上，叫人把她喊出来。伶伶听说县官来访，便急忙出来迎接。她打开大门，前腿刚迈出来，就看到县官站在马蹬上对她喊道：“伶伶，听说你很聪明，老爷我今天就考考你，你说我要下马还是要上马？”伶伶一听知道是在向她发难，抿嘴一笑对县官说：“老爷，你先回答我，我是要出门还是要进门？”县官无言以对，骑上马就匆忙赶回衙门去了。
　　这位县官的问题确实很难为人，因为站在马蹬上本身就是个中间状态。如果你说他要上马，他可以马上跳下来，而如果说他要下马，他却可以骑上去，因此，这种中间状态就具有上去与下来的矛盾二重性，单说上去或下去都是不行的。但是，聪慧的伶伶并没有被难倒。她来了个以其人之道还治其人之身，给县官提出了一个类似的难题，因为前腿在外后腿在内本身也是个中间状态，也具有矛盾的二重性。如果说她要出来，她可以进去，而如果说她要进去，她又可以出来。这一问题县官很难回答，当然，他也就不能要求别人回答他的类似的问题。
　　县官之所以被难倒，还有一个重要原因，那就是他的形式逻辑的思维方式。根据形式逻辑的基本规律，对问题必须进行“是”或“否”的回答，也就是说，要么回答进去，要么回答出来，但无论哪种回答都可能造成困难。
　　同样，在理发师悖论中，理发师本身具有矛盾的二重性。作为理发师不能自己理，而作为一个村民可以自己理，也就是说，他既要自己理又不能自己理。而在编目悖论中，“自身不列入的目录的总目”本身既要列入自身，又不列入自身，但要加以区别并给以不同的解释。
　　区别与规定的方法同样适用于罗素悖论。罗素悖论是由于“不以自身为元素的集合的集合”这一概念引起的，那么，我们对它试加分析。这一概念具有二重性，作为所有不以自身为元素的集合组成的集合，它本身也是一集合，但这是集合也是一个总集。这样，就形成以下两种情形：此集合作为总集不包含自身，同时，作为一普通的集合它也是不包含自身的。而既然它是不以自身为元素的，那么，它就必然是总集所包含的元素，所以，此集合不是作为总集，而是作为普通的不以自身为元素的集合包含在自身中。也就是说，此总集既包含在自身中，又不包含在自身中。这看似矛盾的，但通过区别二重性并加以解释后，也就不成其为形式逻辑的矛盾了。
　　十四、奇妙的唱机与唱片--拒斥排中律
　　集合论中一系列悖论，特别是罗素悖论的出现，揭示了这样一个严酷的事实：集合论是不相容的，即前后是矛盾的。一向以精密严格著称的数学大厦居然出现了裂痕，而且是足以使整座大厦倾覆的裂痕，这怎能不令人震惊！悖论产生的根源何在？能否为数学找到一个可靠的逻辑基础？这些问题困绕着数学家和逻辑学家，由此也引发了一场关于数学基础问题的大论战。
　　论战的一方是以罗素为代表的逻辑主义学派。逻辑主义认为，逻辑是全部数学的基础，以真假二值为基础的经典逻辑是绝对可靠的，数学的基本概念可以用逻辑的概念来定义，数学的命题则可经由逻辑的公理，运用逻辑的法则推导出。只要构造出合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。把数学化归为逻辑，这是逻辑主义学派的基本纲领。避免悖论，维护集合论和已有的一切数学成果则是其基本出发点。
　　为消除悖论，罗素提出其著名的类型论。类型论取得一定的成效，但由于过于繁琐和做作，所以，遭到许多人的批评。而且，由于在推出经典数学的过程中需借助于一些非逻辑的公理，因此，逻辑主义学派“把数学归结为逻辑”的纲领最终证明是失败的。
　　论战的另一方是以希尔伯特为代表的形式主义学派。形式主义学派也坚信经典逻辑的有效性，捍卫一切已有的数学成果。为了证明经典数学的可靠性，希尔伯特提出了这样的方案：首先把经典数学形式化（即变成纯粹的形式符号），构成形式公理系统，然后用有穷的方法（即不采用实无穷的观点，不使用无穷集合）来证明这些公理系统的一致性（即无矛盾性），试图用逻辑的无矛盾性来为数学的真理性作辩护。在希尔伯特看来，如果一个概念具有矛盾的属性，这个概念在数学上就不存在。但是，如果可以证明一概念的属性不会经过有穷步骤的逻辑推理导致矛盾，那么，这个概念的数学存在性就证明了。
　　这一方案首先遭到直觉主义学派的攻击。此学派的代表布劳威尔曾一针见血地指出：“不正确的理论即使还未碰到矛盾，但仍然是不正确的，正如一个罪恶的行为即使还未被法院发觉，但仍然是罪恶的。”而给予这一方案致命打击的还是哥德尔的不完备性定理。对于这一定理，霍夫施塔特曾用一故事加以通俗说明：
　　（阿基里斯去访问乌龟，并在他家消磨时间）阿：上帝啊！，你的收藏品可真多。你收集了这么多唱片，那你究竟喜欢什么样的唱片呢？
　　龟：我认为巴赫的作品最棒。不过，我最感兴趣的却是一种特殊的音乐，我把它称为“粉碎唱机的音乐”。
　　阿：这可真是一种古怪的音乐。难道你举着大锤，按照贝多芬《惠灵顿的胜利》的节奏把唱机一个个地砸掉？
　　龟：可不是这么回事。懂得这种音乐的人并不多。这要从我的朋友蟹说起。有一天，他来我这儿作客，他刚刚买了一台新唱机，按照店主的说法，它能演奏任何声音，也就是说，这是一台完备的唱机。
　　阿：你肯定不相信这一点的。
　　龟：后来，我就去回访他，并且带去一张我自己创作的唱片。唱片的曲名就叫做：“我不能在唱机1上演奏。”我建议他和我一起来欣赏这张唱片。于是，他就打开唱机把这张唱片放进去了。不幸的是，刚奏出几个音符，唱机就开始抖动起来，越抖越厉害，最后只听“啪”的一声，唱机裂得粉碎，不用说；这张唱片也跟着报销了。
　　阿：真倒霉！可是店主不是吹嘘这是一台完备的唱机吗？
　　龟：确实如此。阿基里斯，难道你也会和蟹一样天真，相信店主告诉你的一切吗？
　　阿：我想这是因为店主在吹牛的缘故。
　　龟：其实，在回访蟹之前我就去过出售唱机的那家商店。我向他索取了设计说明书，分析了它的结构，并且发现确实有这样一组声音，如果它在唱机附近作响，就可以使唱机振荡，乃至于碎裂。
　　阿：你这个恶毒的家伙！不用细说我就明白了。你录下的真是这组声音，还假惺惺地把它当作礼物去送给蟹。
　　龟：你倒是够机灵的。不过事情并未就此了结。蟹并不相信他的唱机是有缺陷的，于是，他又买了一台更加昂贵的唱机。店主则向他许诺，如果他能发现一组在这台唱机上无法演奏的声音，我就包赔两倍的钱。于是，蟹兴致勃勃地来找我，而我也带着极大的兴趣去观看。
　　阿：我敢打赌，你一定又按照新唱机的结构炮制了一张新的唱片：“我不能在唱机2上演奏。”
　　龟：你的反应很快，你完全领会了问题的精神实质。当然，完全可以料想到，这台唱机又被震得粉身碎骨了。
　　阿：我倒有一个主意。他可以买一台低保真度的唱机，这样就不会重演使自己毁灭的那组声音了。
　　龟：可是，这样一来就违背了原来的宗旨——可以演奏任何声音。
　　阿：我现在明白问题的两难性究竟在哪里了。这就是说，任何唱机其实都是有缺陷的。
　　龟：我不明白你为什么要把这叫做缺陷。问题的实质在于，你要唱机去做它根本办不到的事情。不过，我的朋友蟹并不死心，他又自己设计了一台“奥米枷唱机”。这种唱机带有一架电视摄像机，能在唱片演奏之前先把它审视一番。它和微型计算机连接在一起，可以立即判定这组声音对于唱机所产生的效果。如果唱机会受到破坏，它就可以通过一个内部装置将唱机的各部分重新组装，从而改变它的内部结构再来演奏唱片。
　　阿：这下好了，你也没有办法了吧？
　　龟：瞧你这副得意的劲儿，如果你懂得哥德尔定理就不会这样得意了。
　　哥德尔定理是说：（1）如果系统是无矛盾的，那么，此系统是不完备的，即其中必有一个命题，其真假不可判定；反之，如果它是完备的，那么，它必然包含矛盾。（2）这样的系统自己不能证明自己无矛盾，除非它自己是矛盾的。哥德尔通过建造一个类似说谎者悖论的命题证明的：“本命题在此系统中不可证”（G）。假如这个命题G在系统中可证，则证明了它“不可证”，矛盾。因此，假设不成立，G在系统中不可证。而G是说它在系统中不可证，故G真，这样，就证明了在系统中有一个真命题不可证。用上面的例子说，就是任何唱机都不可能完备，它总有不能演奏的唱片。所以，蟹通过摄像机审视后不断调整唱机结构的方法是行不通的，因为乌龟总可以设计出一种它不能演奏的唱片。哥德尔定理的发现标志着希尔伯特方案的破产。
　　论战中的另一方是以布劳威尔为代表的直觉主义学派。直觉主义学派认为，数学的基础和出发点是自然数的理论，而自然数则是由人的原始直觉（按时间顺序出现的感觉）构造出来的。数学理论可靠性的唯一标准就是心智上的可构造性。他们有一句名言：“存在必须等于被构造。”
　　由此，他们反对“实无穷”，而支持“潜无穷”的观点。所谓“潜无穷”，就是把无穷看成一个不断创造着的又永远无法完成的过程，例如，把自然数看成一个无限延伸的序列1，2，3，……，而不是一个已经完成的集合｛1，2，3，……｝。他们进一步认为，实无穷的观念是集合论中产生悖论的根源。
　　按照直觉主义的观点，要判定一个命题A为真，就必须给出A的构造性证明。要判定一个否定命题非A为真，就必须有一个构造，这一构造将任何一个假定原命题A为真的构造导致谬误，例如推出一对矛盾的命题B和非B。在经典逻辑和经典数学中，人们经常使用间接证明的方法：欲证一个命题为A真，不是直接去证明，而是先假定A不真，即非A真，然后推出逻辑矛盾，以此来证明命题为A真。这种方法直觉主义者是不能接受的，因为由非A推出逻辑矛盾并不意味着可以肯定命题A找到一个构造性证明。
　　有一个故事很形象地说明了这个问题：
　　一位能言善辩的人在滔滔不绝地说明“秘鲁地下有金矿”这一命题的正确性，可是，他既不清楚究竟在秘鲁的哪个地方有金矿，也不了解为什么会有金矿，也讲不出按照什么方法就一定能在一段时期内探明金矿的所在地，而只是兜着圈子论证：如果秘鲁地下没有金矿的话将会导致矛盾。一位听众提出了质问：“你的这番高论对于一个探矿者有何实际价值呢？”善辩者无言以对。
　　基于他们的基本立场，直觉主义者断然否定排中律的普遍有效性。布劳威尔认为，排中律是从有穷事物中概括出来的，任何一个涉及有穷事物全体的命题，如“我们班所有的都戴眼镜”，总可以通过对这些事物逐一加以验证，来判明该命题的真假，这时，排中律是有效的。但是，如果人们忘记了排中律的有穷来源，把它看成普遍适用的原则，并把它用于无穷的场合，就会犯错误。这是因为，对于无穷的事物，我们不可能对它们一一加以鉴别。例如，设命题A为著名的哥德巴赫猜想：“每一个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和”（素数为只能被1和本身整除的数），这是一个涉及无穷的命题（因为偶数和素数都是无穷的），至今还无法证明这一猜想，即不能断定A真；但我们也无法论证这一猜想是错的，因此，也不能断定非A真。这样，命题A既不能证实，也不能否定，排中律失效。同理可以看出，“所有集合的集合”、“所有不以自身为元素的集合的集合”等等都是无穷的事物，对它们是否具有某种性质、是否属于自身等都是无法证实或否证的，排中律不再适用，因此，悖论也不会出现。
　　与许多其他解决悖论的方法如类型论、语言分层理论等不同的是，直觉主义学派采取的是一种激进的、釜底抽薪的方法，因为它使逻辑与数学的基础发生了根本性的转变。当然，企图维护经典逻辑与经典数学基础的人会极力加以反对。例如希尔伯特就很愤慨地说：“要想从数学家手中取走排中律，这就类似于想夺去天文学家的望远镜或禁止拳击家使用拳头一样。”
　　随着悖论研究的深入，越来越多的人认识到必须正视矛盾，接受矛盾，拒斥排中律、不矛盾律。1980年，美国的逻辑学家雷歇尔和布兰登提出了“不协调逻辑”。他们认为，自然界的无矛盾性决不是什么经验事实，而是恰恰相反！但他们却指出，对这种不协调性的研究，即关于世界的思维应该是协调的，这正如对于醉酒者精神状态的研究可以是清醒的一样。所以，在其系统中，他们企图把矛盾局部化，就像治疗癌肿一般把它们圈禁起来，使其不能扩散开来泛滥成灾。
　　在“不协调逻辑”之后，澳大利亚逻辑学家普里斯特和罗特列又提出了“超协调逻辑”。在介绍这种逻辑学说时，他们讲了一个土耳其人纳塞阿丁（13世纪人）的故事：
　　纳塞阿丁的菜园里有二园丁。园丁甲照管卷心菜，发现菜上有害虫，即着手捉虫，把虫弄死并抛出墙外。园丁乙走来问甲道：“你在做什么？”园丁甲回答道：“杀虫。”园丁乙问：“杀虫干什么？”甲回答：“因为它们吃掉纳塞阿丁的菜。”但乙却说：“别杀虫了，虫子也有它们吃菜的需要。”于是，二人开始争吵并打了起来。纳塞阿丁和他的妻子恰好走过。纳塞阿丁问：“你们为什么打架？告诉我，由我来判断。”园丁甲说：“我说这些虫子务必杀灭干净，因为它们吃掉您的卷心菜”。纳塞阿丁答道：“你说得对。”但园丁乙说：“我说不要去碰这些虫子，让它们吃饱。”纳塞阿丁答道：“你说得对。”这时，纳塞阿丁的妻于对他说：“但是，纳塞阿丁，他们俩不可能都对。”纳塞阿丁又答道：“你说得对。”
　　据普里斯特和罗特列说，纳塞阿丁的立场就是典型的超协调逻辑的立场。由这种立场出发得出杀虫，不杀虫，不能“杀虫对，不杀虫也对”，即A，非A，以及并非（A且非A），可以说是既承认不矛盾律又否认不矛盾律。
　　普里斯特和罗特列认为，不可能有一种方法能真正彻底地解除悖论，因为悖论本身是真的。既然有的矛盾是真的，就毋需谈论什么“协调”（不矛盾）和“不协调”（矛盾）。逻辑必须超出传统的追求协调性的束缚，而成为“超”协调的，也就是说，对矛盾采取一种超然的态度。
　　十五、梵学者的预言--悖论的两要素
　　《科学美国人》编辑部在其所编的《从惊讶到思考》一书中讲了这样一个故事：
　　〔一天，梵学者（印度预言家）与他的10多岁的女儿苏椰发生了争论〕
　　苏椰：你是个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。学者：我肯定能。
　　苏椰：不，你不能。我马上可以证明它。
　　（苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下）
　　苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它能发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。苏椰：这是一张空白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，就写‘不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后，好吗？
　　学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊！
　　（梵学者在卡片上写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道）
　　苏椰：在3点钟之前，你将写一个“不”字在卡片上。学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以，我错了。可是，如果我写“不”字在卡片上，那就说明我在3点钟之前不会写“不”字在卡片上，但我却明明写了，所以，我也错了。我根本不可能写对的。苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。
　　这条悖论最初的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。它被要求用回答“是”或“不”。来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很显然，要它预言正确，在逻辑上是不可能的，因为如果它回答“是”，就要开红灯（恰恰不是绿灯），而如果回答“不”，就要开绿灯（正好是绿灯）。
　　这个悖论还可以简化成最简单的形式，即问一个人：“你下句话要讲“不”，对不对？请回答‘是’或“不’。”显然，他回答“是”或“不”都是行不通的。
　　根据塔斯基的语言分层理论，“是”和“不”是有不同层次的。苏椰所写的“在下午3点之前你将写一个‘不’字在卡片上”这一句话中，“不”字是被讨论的对象，属于对象语言，而梵学者所写的“是”或“不”则是回答苏椰的问题，或者说是用来讨论上句话中的“不”字的，因此，属于元语言。这里的悖论之所以出现，就是因为把元语言混同于对象语言而造成的自我涉及引起的。如果有两个卡片，在第一张卡片上梵学者回答苏椰的问题，如回答“是”，即在3点之前要在卡片上写一个“不”字，然后在第二张卡片上写出“不”字，这样就不会造成悖论。
　　自我涉及（或自我相关）是任何悖论出现的一个条件。生活中人们经常看到这样的情形，有人为了阻止另外的人在黑板上乱画，就在黑板上写出这样一句话：“严禁乱画！”但不长时间，黑板上就给画满了，如“严禁严禁乱画！”“你为什么乱画？”等。“严禁乱画！”这个句子就是自我涉及的，因为它本身就是在黑板上乱画，不让别人乱画而自己却乱画是说服不了人的。自我涉及是说一个概念，命题或理论说的是它自己，也就是说，它或其结论直接或间接应用于其自身。说谎者悖论“我正在说的话是谎话”是最直接的自我涉及，罗素悖论是“不以自身为元素的集合的集合”这一概念的自我涉及（即问它是否属于自身），格雷林悖论则是“非自状的”这一形容词的自我涉及，理发师悖论则是理发师的自我涉及，等等。正因为自我涉及是悖论出现的基本条件，所以，罗素提出“恶性循环原则”避免一切自我涉及。
　　但是，自我涉及是否必然会导致逻辑矛盾呢？可以很容易看出，并非如此。例如，“一切真的理论都是有价值的”是自我涉及的，但它并没导致矛盾；又如，“我说的这句话是真话”明显也是自我涉及的，被论断者与论断者混而为一；还有，“本语句共用了十个汉字”也是自我涉及，但这些自我涉及的语句并没有造成悖论。非但没造成悖论，在日常生活和一些学科（如人工智能、计算机科学等）中还是经常出现，并且有重要的实用意义。所以，有人批评罗素的“恶性循环原则”是为泼洗澡水连孩子一块也倒掉了。
　　但是，一个自我涉及的命题再加上否定概念就不同了，这时，命题会直接导致悖论。那么，为什么肯定概念如“真”的自我涉及却不会造成悖论呢？这是由形式逻辑的特点决定的。在形式逻辑概念形成的过程中，否定概念必在肯定概念之后，否定概念在形式逻辑的概念中要比肯定概念多了点儿内容。如果用A代表肯定概念，而代表否定概念的非A显然多了点东西，它包含着A。“假”也是一种“真”：即真的“假”。单独的肯定概念绝不能表述它自身的二重性。例如，“不属于”这一概念本身包含着各种“不属于”的关系，因此，“不属于”也是一种属于；“不可形容”已经是一种形容，“不可解”本身也是一种解，“非概念”本身也明明是一个概念。另外如“不可说”、“不包括”、“谎话”、“最大”等否定概念也都包含着它们的肯定概念。因此，自我涉及的命题加否定概念会立即导致自我否定，而任何命题都暗含着自我肯定，这样，自我否定的命题就会形成悖论。
　　在梵学者悖论中，如果他的女儿在纸上写出“今天下午3点以前你将写一个‘是’字在卡片上”，那么，这虽然是自我涉及的，但它并不能造成悖论，因为这是肯定概念“是”的自我涉及。假如梵学者写了“是”字，说明他的预言正确，而如果他写了“不”字，那就说明他的预言不正确，并不能由正确推出不正确，而由不正确又推出正确。同样，“自身列入的目录的总目”也不会形成悖论，因为“自身列入”是一肯定概念。如果要问：“自身列入的目录的总目’是否列入自身呢？”那么，肯定或否定的回答都不会造成困难。如果它是自身列入的目录，那么，正好它应列入总目，而如果它不是自身列入的目录，那么，它就不应列入自身。但“自身不列入的目录的总目”就不同了。它是一个否定概念，本身包含它的对立面——肯定概念，因为总目作为总目，它列入了所有“自身不列入的目录”，不列入本身就是一种列入。因此，如果要问“‘自身不列入的目录的总目’是否列入自身？”这就是否定概念的自我涉及，造成自我否定，出现悖论。
　　西班牙塞万提斯的名著《唐吉诃德》中有一个故事：
　　巴拉塔里亚岛的总督桑差做官问案时曾遇到一些复杂案件的考验，其中有这样一件事：在这位总督的辖境内有座桥，是一个富人为了旅客的便利而建造的，不过桥旁还立了一个绞架，行人必须满足一个条件才能被允许通过这座桥，这个条件是：旅客必须说出他真正要干什么去；如果他说了谎，那就必须放在绞架上吊死。后来有一个人来到桥上，在回答干什么去的问题时，他说他到这里来是为了在绞架上吊死。守桥的人对这个回答迷惑了，因为如果把他吊死，那他就说了真话，应该放他过去；如果放他走了，那他就是说了假话。他们无法解决，于是请总督明断。总督说了一句聪明话：在如此疑难的情况下，应该采取最温和的处置，因此应放他走。
　　因为如果说了谎，就须放在绞架上吊死，所以，这人说他来是为了放在绞架上吊死，意思也就是说他是来撒谎的，这显然是说谎者悖论的翻版。如果说是真话，即真的在撒谎，那么就既是真话又是谎话，因而是矛盾的；如果说是谎话，而他来是为了说谎，因此，这又成了真话，也是矛盾的。之所以造成悖论，也是因为“我来是为了说谎”（或“我在说谎”）是在说自己是谎话，因而是否定概念的自我涉及，即一种自我否定。“我来是为了说真话”（或“我在说真话”）虽然也是自我涉及，但并不会造成悖论，因为“真话”不同于“谎话”，“谎话”本身也是“真话”即真的谎话，它是具有矛盾二重性的，因而在自我涉及时会形成矛盾，即既是真话又是谎话。
　　值得注意的是，有些悖论并非由于直接的自我涉及引起，这里有一段对话可以证明这一点：
　　柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。
　　苏格拉底：柏拉图说的话是真的。有的逻辑学家对此加以简化，形成下面的形式：
　　S1：句子S2是真的。
　　S2：句子S1是假的。
　　假设句子S1是真的，那么，句子S2就是真的。但是，如果句子S2是真的，句子S1就必然是假的。反过来，我们假设句子S1是假的，也就是说，“句子S2是真的”是假的，那么，句子S2是假的。而如果句子S2是假的，句子S1就须是真的。两个句子都没有直接谈到它自身，但放在一起后却是间接地涉及到自己，它们不断改变着其真实性，使我们无法说出任何一个句子是真还是假。
　　对此悖论，我们还可以换个样式进行表述。我们在一张空白卡片的一面写上：“这张卡片背面的句子是真的”，而在它的背面写上：“这张卡片背面的句子是假的”。
　　将这种悖论与说谎者悖论加以比较容易看出，二者的区别仅在于：在这种悖论中，命题的自我否定是通过另外一命题来实现的。因此，这种悖论只不过是说谎者悖论的变种。如果我们领略了其中的奥妙，也就不难构造出涉及三个或更多命题的否定。例如，这种悖论可构造如下：
　　张三：李四说的是假话。
　　李四：王五说的是真话。
　　王五：赵六说的是真话。
　　赵六：张三说的是真话。
　　或者：
　　张三：李四说的是假话。
　　李四：王五说的是假话。
　　王五：赵六说的是假话。
　　赵六：张三说的是假话。
　　这正如一个人不是用棍子敲打自己，而是用自己的棍子敲打李四的棍子，带动李四的棍子敲打王五的棍子，王五的棍子又引起赵六的棍子运动，而赵六的棍子恰好在张三的头上，因此就敲打了张三。
　　十六、怪圈之谜--悖论的实质
　　一句简单的“我在说谎”困绕了2000多年来的哲学家、数学家和逻辑学家，有人为其烦恼，有人为其倾尽心血，甚至有人过早地丧失了生命。就说谎者悖论本身的含义来讲，它确实没有多大的意思。之所以能引起这么多人的关注，是因为它表现了“否定概念的自我涉及”如何反映出概念和命题的矛盾本性，揭示了形式逻辑思维本身的局限性。
　　形式逻辑的思维以事物的相对稳定性为基础，它的基本规律就是同一律、不矛盾律和排中律。它要求对问题作出肯定或否定的答复，而这就需要对事物进行分解、割裂。形式逻辑习惯于把不间断的东西割断，把一个对象实际上联结在一起的各个环节分隔开来考察。
　　惠施的“历物十事”中有一个著名的命题：“连环可解也。”所谓“连环”，就是一个个的小环首尾相连而形成的大环。关于这个命题，人们有种种解释，其中有一种解释非常有趣。
　　秦昭王派人送了一个连环给齐威王，说：“齐多智，解此环不？”齐威王拿起锤子就把连环给“解开”了，也就是把连环砸断，并回答秦使说：“谨以解矣。”
　　这种解法就是形式逻辑的方法。在认识的过程中这是很必要的。正如列宁所说：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么，我们就不能想象、表达、测量、描述运动。”但是，这种分裂后的事物已不是原来活生生的事物自身。例如，上述的连环是无始无终，无限循环的，砸开以后就出现了两个头，形式逻辑就硬性地给它们规定一个是始，一个是终，也就是说，把原来既是始又是终，即集始终于一体的环割裂开来。但当人们再把它们接起来后，“始”、“终”又连在了一起，形式逻辑让你回答到底这一环是“始”，还是“终”。这时，你回答是“始”，它又是“终”，回答说“终”，它又变成了“始”，在形式逻辑看来，这就是悖论。
　　所以，悖论实质上不过是客观对象的辩证性与形式逻辑思维方法矛盾的集中体现。具体地说，客观对象是对立环节的统一体（如连环就是既包含了始又包含了终），然而，由于形式逻辑思维方法的限制，客观对象的这种辩证性有时遭到歪曲，对立的环节被绝对地割裂并片面地夸大，以至达到僵化的程度，从而辩证的统一就变成绝对的对立；而如果再把它们机械地（而不是有机地）重新联结起来，对立的环节就产生直接的冲突，悖论就是不可避免的了。
　　例如，集合在本质上是辩证的，它既是一种完成了的对象，又具有无限扩张的可能性，换句话说，集合既是我们面前完成了的实在的对象，又是潜在的对象，即完成与过程的统一。这种辩证性在认识过程中往往被割裂开来，并被夸大为绝对的对立，当它们被机械地重新联结起来时就会发生直接冲突，这就是悖论。比如，在康托尔悖论中，集合的幂集（即此集合的所有子集组成的集合）是可以无限增大的，也就是说，可不断形成集合的幂集的幂集、集合的幂集的幂集的幂集等等，但同时它又包含了对所有集合完成性的肯定，也就是说，它断定了所有集合的集合（“所有集合的集合”是把集合作为我们面前完成了的客观存在的整体反映的）。形式逻辑思维方式把它们割裂开来并机械地联结起来，就形成了悖论。
　　悖论的实质在“对角线方法”中得到最好的体现。这种方法康托尔在证明自然数与实数不能形成一一上对应时首先使用过，他的证明是这样的：
　　先证明[0，1]区间之间的实数。假设所有这些实数与自然数能一一对应，那么，可以给它们编号列成下面的形式：
　　然后，我们根据以下规则构成一个新数d＝0.b1b2……bn……：当ann=1时，bn＝0，而ann≠1时， bn=1。显然， d不同于上表中的任何数，因为bn≠amn，即至少一位是不相同的。但由于d是[0，1]区间中的实数，依据假设，d又必须等同于表上的某一个数，矛盾！故原来的假设不能成立。
　　通过分析可以看出，这一论证的关键是构造出一个不属于已知集合（这里是［0，1］区间中所有实数组成的集）的新元素。由于这一构造是通过对角线位置上的数的变动来实现的，因此，这种方法被称为“对角线方法”。
　　对角线方法既然是构造新元素的方法，所以，它肯定的就是集合的无限扩张的可能性，即过程性（这里就是可不断形成新的数）。这种对过程性的确认在一般情况下是没有问题的。但是，如果我们同时又假设了集合的绝对完成性（这里就是设定所列表中的数为所有实数的总体）。对角线方法的应用就会导致直接的矛盾。因为这时所构造出来的就将是一个具有两重性的元素：它既属于又不属于原来的集合，从而构成悖论。
　　对此，数学家亨金曾作过形象的比喻。他指出，在康托尔的集合论中为什么会出现悖论呢？这是因为其中既包含了“不可抵挡的矛”（指幂集的扩展是无限制的，没有条件的），又有一个“能抵挡一切的盾”（指其中包含一切集合的集合，即大全集），因此，就像我国古代关于矛和盾的故事一样，在康托尔的集合理论中，矛盾是不可避免的。
　　可见，集合论悖论的根源在于集合的对立统一在认识过程中遭到歪曲，而数学的形式逻辑思维特点是造成悖论的重要原因。因为数学在形式逻辑范围内活动，它要求对象的明确性，因此，当集合的辩证性不可能直接在数学理论中得到反映，而只能片面地强调集合的完成性，或者片面强调集合的过程性，而当二者机械地联结在一起时，在形式逻辑的思维看来就是导致了悖论。
　　与集合一样，语言本身也是辩证的：作为客观世界的表述，语言既是已经完成了的（例如，语言中的每一概念在历史发展的各个时期都有确定的含义和范围），同时又处于无限的发展之中（例如，概念的含义和范围随着历史的发展而不断变化）。由于考虑的角度不同，人们可能分别强调对立中的某一环节。但如果把二者绝对地割裂开来并片面夸大，然后把它们机械地联结起来，就会形成悖论。
　　例如，在格雷林悖论中，首先强调了语言在某一方面的完成性，因为这样才能对形容词的总体进行分析，并按照是否具有本身所代表的性质进行分类；但同时它也肯定了语言的无限发展性，即构成了新形容词“自状的”和“非自状的”。这两种考虑在一定意义上都是合理的，但形式逻辑的思维把二者割裂开，当把它们绝对对立并机械地联系起来时，悖论就出现了。
　　由上可知，形式逻辑思维的局限是造成悖论的重要基础，因而，悖论是形式逻辑本身所无法解决的。下面的事例很能说明这一问题。
　　1947年，正在哈佛大学学习的威廉.伯克哈特和西奥多.卡林制造了世界上第一台用于解决逻辑问题的计算机。他们让这台计算机检验语句的正误。当他们给计算机输入了说谎者悖论“这句话是错的”时，这台可怜的计算机立即发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入无休止的反复中。戈登.狄克森的小说《猴子扭伤》也曾讲到这样一件事：某些科学家想让计算机不工作来延长机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”但没想到计算机却因此而不断重复工作直到耗尽它的生命。
　　之所以造成如此的结果，就是因为上述的问题不能用“真”或“假”来判定，而具有形式逻辑思维特点的计算机却只能回答“真”或“假”，这样，必然出现无休止的无限循环。看来，同样具有形式逻辑思维的柯斯的裴勒塔为解决悖论而耗尽精力，一命呜呼并不足为怪了！