佛教的数学

　　各位老师、各位同学：

　　你们在这里是研究会计学的，会计这一门学问是离不了数学的，无论是政府会计、银行会计、成本会计，如果没有很好的数学基础，也是不能入门的。现在我来和各位谈谈佛教中的数学。

　　我们生存在世间上，一切的思想、言说，都是用推比来觉知的，这个推比首要的工具就是数量，不然的话，我们既无法求得觉知，也无法运用思想言说。数量不离数学，一切科学是以数学为基础，即使哲学上也有人主张数量是宇宙万有的本源（如老庄说道生一，一生二，二生三，三生万物），这都是由于一般人懂得了比量而没有了解到真现实量。

　　现在，我们就先从比量上的数学说起：

　　本来，数学并不是单来计算数量的，除了数量的计算以外，更有空量（空间）和时量（时间）的计算。数量的计算，好比二加二等于四，空量的计算如形体的几何学，时量的计算即古今过去现在未来。但是，在空量和时量上，还是离开不了数量，所以，近人就综合之称为数学。

　　数学中既然分有数量、空量、时量，我现在就以佛学上的说法，把它一一解释如下：

　　一．先解说数量　A

　　我们中国计算数量是以十进制，共计为：一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载的等单位。实际上现在亿以上都是由万数来表达，比如十万，百万，千万等，亿兆的数量名称已不多用，京垓秭壤更是少人知道了。

　　这不但中国是如此，就是说西洋的计数，虽然或者是不止这些单位，但实际用的也不过六七位。佛教各经论中，计算数量多用洛叉（亿）、俱胝（京）、阿僧只等，实在已经超过人间常用的数字。在大小乘的论典中，以及《佛所行赞》、《法华经》、《华严经》等，虽然计算数法及数目多少的次序，并不一致，但综合的来看，还是一般的十进的加法与倍进的乘法而已。

　　现在解说佛经上的数量，分三点次第说明，一是代表初期小乘佛学的上座部说，二是代表后期小乘的《俱舍论》说，三是代表大乘学的《华严经》说。

　　初期的原始佛教，本分有上座部与大众部，今日锡兰、缅甸、暹罗所传的佛教，就是属于上座部，这一派对于数量的说法，根据所传承而共信的，从十进百的十进制，共十六位，和我国的数量相较，已多了二位，因为中国虽然也说有十六位，但那是从一数起。上座部的十六位数量，并不是佛学所特有的，古来印度相传的计算方法，就是这十六位，今列表如左：

　　十个十等于一百

　　十个百等于一千

　　十个千等于一万

　　十个万等于一洛叉（亿）

　　十个洛叉等于一大洛叉（兆）

　　十个大洛叉等于一俱胝（京）

　　十个俱胝等于一额部昙（垓）

　　十个额部昙等于一钵昙摩

　　十个钵昙摩等于一大阿庾多

　　十个阿庾多等于一那庾多

　　十个那庾多等于一大钵昙摩

　　十个大钵昙摩等于一钵罗庾多钵十个钵罗庾多等于一三慕达罗（正）

　　十个三慕达罗等于一末陀（载）

　　十个末陀等于一大矜羯罗

　　十个大矜羯罗等于一频跋罗

　　在这十六位的前面，如果再加上一数字及十数字，则成十八位，就是十个万万万万，我国的十六位不过是千个万万万。

　　世界各国通用的数字，虽然至兆即止，但文化是发达进步的，佛教的学者们觉得此数还不够用，所以又有《俱舍论》五十一位的数量位的产生。

　　《俱舍论》五十一位的数量位，也是十进法，把这五十一位的名称写在下面：

　　一　　　　百　　　　　　千　　　　　　万　　　　　洛叉

　　大洛叉　　俱胝　　　　　末陀　　　　阿庾多　　　大阿庾多

　　阿庾多　　大那庾多　　　钵罗庾多　　　大钵罗庾多　矜羯罗

　　大矜羯罗　一频跋罗　（上座部止此）大频跋罗　　　　阿蒭婆

　　大阿蒭婆 毘婆诃　　大毘婆诃　　　一嗢蹭伽　　　大嗢蹭伽

　　婆喝那　　　大婆喝那　　地致婆　　　大地致醯　　　醯都

　　大醯都　　羯腊婆　　　大羯腊婆　　印达罗　　　　大印达罗

　　三摩钵耽　大三摩钵耽　　揭底　　　大揭底　　　　拈筏罗阇

　　大拈筏罗阇　姥达罗　　　大姥达罗　　　跋蓝　　　　大跋蓝

　　珊若　　　　大珊若　　　　毘步多　　大毘步多　　　跋罗搀

　　大跋罗搀　　阿僧只耶

　　最高的五十一位阿僧只数，就是千个万万万万万万万万万万万万万的数量，佛经里记载佛陀的说法，常用的阿僧只的数字，就是指此数而说。在《华严经》中也曾说到阿僧只，但那个阿僧只并不是这里所说的十进制的阿僧只，因为数目分三等：一、下等数法，十十变之，二、中等数法，百变之，三、上等数法，倍倍变之。《华严经》所说，虽然骇人听闻，但近来研究科学的学者，计算太阳系的原子数，或是计算太阳系生长变坏的秒数，应该是不为多。他们说：光的速率为一八六二八○哩，在一秒钟内光能环绕地球七周半。据现代科学所能了知的宇宙直径为一百万万光年，其质量为在一字的下面圈八十三个圈，即等于所有电子的质量，如果这个数字不用佛经中的数目表明，则一字之下圈八十三个圈的数量，将叫什么名称呢？即使以《俱舍论》所说的五十一位，也尚嫌不足，那只得进一步探究《华严经》所说的数字了。

　　《华严经》中所说的数量，是在《华严经》中的<阿僧只品>，心王菩萨问佛：云何阿僧只乃至不可说？佛就为他说算数无尽之法。

　　兹将《华严经》中所说的数量，列之于下：

　　俱胝（千万）　　阿庾多　　　那由他　　　　频波罗

　　矜羯罗　　　　　阿伽摩　　　最胜　　　　　摩部罗

　　阿部罗　　　　　多部罗　　　界分　　　　　普摩

　　祢摩　　　　　　阿部钤　　　弥伽婆　　　　毘攞伽

　　毘伽婆　　　　　僧羯罗摩　　毘萨罗　　　　毘赡婆

　　毘盛伽　　　　　毘素陀　　　毘婆诃　　　　毘薄底

　　毘怯担　　　　　称量　　　　一持　　　　　异路

　　颠倒　　　　　　三末耶　　　毘睹罗　　　　奚婆罗

　　伺察　　　　　　周广　　　　高出　　　　　最妙

　　泥婆罗　　　　　诃理婆　　　一动　　　　　诃理蒲

　　诃理三　　　　　奚鲁伽　　　达攞步陀　　　诃鲁那

　　摩鲁陀　　　　　忏慕陀　　　医攞陀　　　　摩鲁摩

　　调伏　　　　　　离憍慢　　　不动　　　　　极量

　　阿么担罗　　　　阿么怛罗　　奚么怛罗　　　鞞么怛罗

　　钵罗么怛罗　　　尸婆么怛罗　翳罗　　　　　薛罗

　　谛罗　　　　　　偈罗　　　　窒步罗　　　　泥罗

　　计罗　　　　　　细罗　　　　睥罗　　　　　谜罗

　　娑罗茶　　　　　谜鲁陀　　　契鲁陀　　　　摩睹罗

　　娑母罗　　　　　阿野婆　　　迦摩罗　　　　摩迦婆

　　阿怛罗　　　　　醯鲁耶　　　薛鲁婆　　　　羯罗波

　　诃婆婆　　　　　毘婆罗　　　那婆罗　　　　摩攞罗

　　娑婆罗　　　迷攞普　者么罗　　　　驮摩罗

　　钵(左手+右罗)么陀　毘伽摩　　乌波跛多　　　演说

　　无尽　　　　　　出生　　　　无我　　　　　阿畔多

　　青莲华　　　　　钵头摩　　　僧只　　　　　趣

　　至（以上十地菩萨数学）　　　阿僧只（以下为佛陀之学）

　　阿僧只转　　　　无量　　　　无量转　　　　无边

　　无边转　　　　　无等　　　　无等转　　　　不可数

　　不可数转　　　　不可称　　　不可称转　　　不可思

　　不可思转　　　　不可量　　　不可量转　　　不可说

　　不可说转　　　　不可说不可说

　　不可说不可说转（以上是真比量的极量）

　　《华严经》中所说的数量位共有一百二十六位，俱胝以前，是平常世俗的数字，都是十进的加法，俱胝以后，为一般科学者研究的数字，依此可以渐渐的测知佛陀所证知的数字。佛陀的数学，从阿僧只起，共有二十位，这是用倍倍相乘的进法，其数之多，穷于计算。在《华严经》中，其余各品都是菩萨说的，唯有这<阿僧只品>是佛亲口所说，菩萨只能从佛陀学习这样的数学。因为虚空无尽，世界无尽，众生无尽，若没有佛陀的数学，则其中广大狭小，一切名称，无由得知，所以，唯有佛陀的智能才能穷究数学之源。

　　二．次说空量　B

　　在数学里，计算空间点线面积的是几何学，佛学里并不曾缜密的另创新说，不过，在大乘的学说中，对于空间，佛陀也曾泛言佛刹与微尘数，对于佛刹而论及十方无尽世界；对于微尘，并不详言微尘的数量，以及微尘如何积聚而成佛刹。这是因为大乘人了解到有情的器世间等，都是幻象不真，所以只观空而不分析；而小乘是以分析观空，故对极微曾加以分析。当初印度的佛学者，对万物起源的研究，认为是地水火风四大种因缘所组成，虽然一切万物是四大种因缘组合而成，但四大种也必有他的出发点，以形成单位，然后山河大地，才得以形成。这种假想分析证明法，是说四大迭分迭细，至于极缈小的地位，科学经验不能觉知，物理手续不能分割，此即名之为极微。近代科学家以物理的分析为最细小的是原子、电子，但电子还可分析，此即佛教中所说的极微。

　　今以小乘《俱舍论》，以最单点为极微，则七个极微为一个微量，积七个微量为一个金尘量，积七金尘为一水尘量，积七水尘为一兔毛尘量，积七兔毛尘为一羊毛尘量，积七羊毛尘为一牛毛尘量，积七牛毛尘为一隙游尘量。这个隙游尘飞散在空中，就是我们肉眼所见的色尘，其逐次增加的数目，列表如左：

　　极　微──一个极微

　　微──七个极微

　　金　尘四十九个极微

　　水　尘──三百四十三个极微

　　兔毛尘──二千四百零一个极微

　　羊毛尘──一万六千八百零七个极微

　　牛毛尘──十一万七千六百四十九个极微

　　隙游尘──八十二万三千五百四十三个极微

　　以八十二万三千五百四十三个极微，成为一个隙游尘，那么，则极微的缈小，很可惊人了！

　　微尘是约集合空量的小数单位而言，若一个佛刹或一个国土，究以多少微尘集合而成，以我们普通的数法，那是难以计算的！

　　佛经里讲到空间的距离，依印度习俗都是用由旬，由旬梵语是踰缮那，华言限量，分有三等，上等由旬八十华里，中等由旬六十华里，下等由旬四十华里。佛经里对于空间的距离，有时一说就是八万四千由旬。有时一说就是十万亿佛土，实际上说来，这都是把抽象的变为具体罢了！

　　三．再说时量　C

　　我们看到月亮的圆缺，知道时间的运转不停；我们体察心念的生灭，知道了时间的短暂。我们人类普通的计算时间，最短的是一瞬，为时间最小的单位；把时间说得很长的是生物学者，他们的生物纪一说都是若干万年；地质学者更有较长的地层纪，他们一说都是几千万年；最长的是天文学者的天体纪，一说都是若干万万年。虽然如此，但与佛陀的相较，相差程度是不能想象的。

　　「一瞬」的正确时间究竟有多少？经过很多科学家实验后的平均值是五分之二秒，这其中包括：放下眼睑是十分之一秒，眼睑放下后的停止状态是十分之一点五秒，眼睑又再提升是十分之一点五秒，总合之一瞬即五分之二秒。以我们中国计算时间的说法，从一瞬推上去是一须臾，但多少一瞬才为一须臾，是没有办法计算的。有的计算时间是三十须臾为一时辰，十二时辰为一昼夜，约三十昼夜为一月，三月为一季，四季为一年，三十年为一世，如此而止。现在世界所通用的是六十忽为一秒，六十秒为一分，十五分为一刻，四刻为一小时，二十四小时为一日，约三十日为一月，约三百六十五日分为十二月为一年，百年为一世纪，每逢百年增数为一世纪。

　　世间对时量的一般计算，略如上说，那么佛学中的时量如何计算呢？

　　佛学中的时量，分小时，中时，大时，以《俱舍论》之说略解如下：

　　小时量的计算：在佛学中大抵是以「刹那」为时量最小的单位。在《仁王护国经》中说，梵语刹那，中国的意思名为一念，一念中有九十刹那，一刹那中有九百生灭，若具体一点说，所谓「少壮一弹指，六十三刹那」。一分钟内，为四千五百个刹那。《大毘婆沙论》说一昼夜有六四六．六零六、六六八○刹那。实在说来，刹那的真量，除佛陀外余皆不能尽知，因为能知的心念粗细悬殊，所知的时量也就千差万别。今以《俱舍论》的说明如下：

　　百二十刹那为一怛刹那

　　六十怛刹那为一腊缚

　　三十腊缚为一牟呼栗多

　　五牟呼栗多为一迦攞

　　六迦攞为一昼夜

　　依这样的推算，则一昼夜是三千二百八十二万刹那，比《毘婆沙论》的六十四万万六千六百零六万六千六百八十个刹那为一昼夜的计算是粗显得多了。因为这样才便于常人及学者的运用，若准确微细计算时间，除了佛陀，不是我们心量所能觉察思辨的。

　　中时量的计算：佛经里常有昼夜六时的记载，此即指六迦(左手+右罗)而言，一个昼夜，分为六时，昼三时，即上日（辰巳）中日（午未）下日（申酉），夜三时，即初夜（戌亥）中夜（子丑）后夜（寅卯）。从昼夜往上推，则为：

　　三十昼夜为一月

　　四个月为一季（我国三个月为一季，一年为春夏秋冬四季，盖印度每年分寒季雨季热季，与他处不同）

　　三季为一年

　　一百年为一世（我国三十年为一世）

　　五百年为一变（此可见于释尊说法初五百年如何，后五百年如何可知）

　　一千年为一化（此可见释尊说正法千年象法千年可知）

　　一万二千年为一周（此可见释尊说正法象法末法共为一万二千年可知）

　　从中时量的计算，我们可以看出，佛教说小时量的单位为刹那，说大时量的为大劫，这是因为刹那便于体察心念的生灭，大劫便于说明物界成坏的相续，中时量对于人文的相续，较欠详尽的发挥，所以对于年以上的世态变迁，就很难知道它的历史了。

　　大时量的计算：佛学中说大时量常用「劫」字，劫就是大时的意思。分小劫中劫大劫三种。一个小劫究竟是多少时间？从人寿十岁算起，每过一百年增加一岁，加到八万四千岁，然后再从八万四千岁每隔一百年减一岁，减到十岁，总共一千六百八十万年叫做一小劫。以此往上推，则为：

　　一个小劫为一千六百八十万年

　　二十个小劫为一个中劫

　　四个中劫为一个大劫〔一个大劫中有成（世界生长期）住（世界壮盛期）坏（世界老死期）空（世界灭无期）〕，如此成住坏空相续循环一次为一大劫。

　　七个大劫（亦名火坏劫）为一水坏劫

　　七个水坏劫为一风坏劫

　　以这样计算，一个风坏劫中有七水劫，四十九火劫，一百九十六中劫，三千九百二十小劫，六百五十八万万五千六百万年。佛经里常说的劫，大都指的这风水火的劫而言，有些经里常说到释尊修三大阿僧只劫而得成佛果的故事，在这三大阿僧只劫中，忍人所不能忍，行人所不能行，然后方于菩提树下成等正觉。这种时量之长，真够骇人！《弥陀经》中，说「阿弥陀佛成佛以来，于今十劫」的时量，也是很难计算的了。

　　四．佛教看数量　D

　　依佛教的真理来讲数量，原来是：

　　一个不是少　万亿不是多　一就是多　多不离一

　　对佛教没有研究的人，见了这句话，一定大惑不解，然而，这的确是一种真理，无法加以否认。

　　我们现在来讲「一个」，什么才叫做「一个」呢？我在这里和诸位讲话，「我」是一个；我在这间教室中讲话，这间教室也是一个；这间教室在台北，台北也只一个；台北在台湾，台湾也只有一个；台湾是中国，中国也是一个；中国是世界的一环，世界也是一个；世界是虚空中的一个行星，然而虚空也是一个。宇宙中没有两个同样的东西，然而这些「一个」，究竟哪里「一个」多，哪里「一个」少呢？所以，仔细的想想，一个实在不能说它是少的！反之，万亿也在「一个」之中，也不能说它多。因为一是不离多，多是不离一的。在佛教中，说万物相关，万物一体。一与多，兼容相入，一就是多，多也就是一。好比说，零本来没有，但把零圈在一万万的后面，这个零可就太多了。黑板的粉笔，这粉笔的一粒灰尘，就是集合了万物的力量才能形成的。这一粒粉笔的灰尘，假若是白粉的泥土做的，那么，就离不了做这支粉笔的模型、工作的人员、养活那些工作人员的衣食住行等资源，他们都有密切不能离开的关系。衣食住行从何而来？那又不能离开供给衣食住行的世界上一切的人，还有，产生这些原料的土地与日光空气水，如果缺少一个，这点粉笔的灰尘都不会做成，都不会落在这里。所以说一中含多，多中含一；一个不是少，亿万不是多，一与多是表里的关系，并没有特别的两样。

　　实在说来，这一与多，本来是不可说的，在《维摩经》中，文殊问维摩诘：『何等是菩萨入不二法门？』时维摩诘默然无言！文殊歎曰：『善哉！乃至无有文字语言，是真入不二法门。』「不二法门」，这正是数量无一无多的最好说明。

　　五．佛教看空量　E

　　依佛教的真理来讲空量，原来是：

　　大中有小　小中含大　远不在天边　近不在眼前

　　研究佛教的人，都知道螺蛳壳内，诸佛菩萨可以作道场，这是多么不可思议的境界！佛于一毫端中，光明能遍周法界，这又是多么难猜测的事情！然而，这决不是异想天开的神话，而确是如此的。

　　前面曾说过，空量的最小是微尘，最大的是刹土。现在假定说，十万万个太阳系，大千世界为最大量，这是今日天文学中所能窥探的，但这只是人类比量所知的境界，若以人身上的细胞来说，把我们人身看成是地球，而人间的地球，即成为不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情来说，他们身高十万踰缮那，大于地球好多倍，我们此世界人类，其小甚于彼身上的细胞。一只乌龟每小时可走七公尺，在同一时间内，一只兔子可跑六十五公里。人类嫌其狭小的花园，一只蚂蚁走进去可能找不到家。如此大小相差，长短距离，广狭厚薄，以及南北东西，上下之量，那实在是不能有一定的说法了。

　　佛教里有两句话：「须弥藏芥子，芥子纳须弥。」过去有一个读书人不懂，问一位师父：『师父！你们佛教中这两句话，第一句须弥能藏芥子，倒也罢了，但第二句太不通，因为芥子怎么好纳须弥呢？』师父回答说：『你们读书人知道「读书破万卷，落笔如有神」这两句话吗？这万卷书读到什么地方去了呢？』那位读书人把肚子一拍说：『读在我的肚子里呀！』师父又说：『既然万卷书都能读进你的肚子里去，那么，这里有一本书请你装进肚子里去吧！』那个人被师父这么一说，方才悟到空量的大小原来是这样兼容的！

　　佛说：一微尘中有无数刹（一刹即为亿万太阳系），无数刹中有无数佛，一一佛身各毛孔中有无数刹，刹中佛身，佛身毛孔，毛孔中刹，重重无尽，这样看来，极小的极微又不知大于太阳系多少倍了。从此可知，我们今日所知的空量，皆是此世界有情幻觉中的幻相，因为有情界各有各的不同空量。我们从中国到日本，相隔数千里，即使坐喷射客机，也要几个小时；西方极乐世界，离此十万亿佛土，一念之中，即可往生；此可知空量的距离，近不在眼前，远亦不在天边。

　　六．佛教看时量　F

　　依佛教的真理来讲时量，原来是：

　　促一刹那而非短　延无量劫而非长

　　我们从世间的有情界来看时间，所谓长短久暂，延促相差，都是幻觉不真。

　　亲朋好友相聚欢谈的时候，数小时等于一瞬；怨家对头相逢一起的当儿，几分钟也好似历时数年。蜉蝣不知昼夜，朝生夕死；彭祖八百岁，几经沧桑；他们都觉得同样的度过了一生，生命的久暂本来都是幻觉而不实在的。

　　我们看到日出日没，知道是日已过，但地球上半年有太阳，半年无太阳，他们的一日如何计算？人间的五百年，忉利天才一昼夜；忉利天五百年，夜摩天才一昼夜；这样一算，人间的一日，在夜摩天尚不及一秒。人间的一秒，在朝生夕死的蜉蝣，可能当作一昼夜，如此，时量实无准确可言！

　　娑婆世界的一劫，于阿弥陀佛的极乐世界才一昼夜；极乐世界的一劫，于金刚坚佛刹的袈裟幢世界才一昼夜；袈裟幢世界的一劫，于善胜光明莲花开敷佛刹的不退转音声轮才一昼夜；不退转音声轮世界的一劫，于法幢佛刹的离垢世界才一昼夜；离垢世界的一劫，于狮佛刹的善灯世界才一昼夜；善灯世界的一劫，于光明幢佛刹的妙光明世界才一昼夜；妙光明世界的一劫，于法光明莲花开敷佛刹的难超过世界才一昼夜；难超过世界的一劫，于一切神通光明佛刹的庄严慧世界才一昼夜；庄严慧世界的一劫，于月智佛刹的镜光明世界才一昼夜；从镜光明世界，如是乃至无数佛刹最后的一世界一劫，于贤胜佛刹的胜莲花世界才一昼夜。从小处来看，我们娑婆世界的一劫，在胜莲花世界里有如一刹那；从大处来看，胜莲花世界的一刹那，正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差，可知我们这世界的时量是有情类幻觉中的假名了。

　　一只蚊子，在一秒钟内，能将他的翅膀振动五百至六百次，但人类即使是一个最优良的打字员，在一秒钟内顶多也不过能按六到七下键盘，同样的时间，却有如此的悬殊，若不明白这都是有情界的幻相，那就永不能认识时间！

　　刚才和各位略释佛教的数学，因限于时间，未能一一详言，各位如果有兴趣，对佛学稍加涉猎和注意，那么对于数学的原理和宇宙人生的意义，当更有体会！